3.1 指数幂的拓展（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

§1　指数幂的拓展 课程内容标准 学科素养凝练 通过对有理指数幂a (a>1，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程． 　　通过n次方根及根式的学习，达成数学抽象、数学运算的核心素养． 1．正分数指数幂：给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝，这就是正分数指数幂． 当k为正整数时，分数指数幂满足：. 有时，也把写成 的形式． 2．负分数指数幂：给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义＝ ＝. 　一般地，给定正数a，对于任意的无理数α，规定：a－α＝. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)(－2)－2＝－.(　×　) (2)分数指数幂可以理解为个a相乘．(　×　) (3)若x3＝4，则x＝2.(　√　) (4)若b2＝53，则b叫作5的次幂．(　√　) 2．已知a>0，则a等于(　　) A．　　　　　　　　　 B． C．　　　　　　　 D．－ B　[a＝＝ .] 3．把根式a化成分数指数幂是(　　) D　[由题意可知a≥0，故排除选项A，B，C .] 4．已知m10＝2，则m＝____2____． (1)在(2x＋1) 中，实数x的取值范围是________． (－，＋∞)　[由分数指数幂的意义得2x＋1>0，解得x>－，故实数x的取值范围是(－，＋∞).] (2)将下列各式中的a(a>0)写成分数指数幂的形式： ①a3＝54；②a3＝(－2)8；③a－3＝104m(m∈N＋)； ④a－2＝6. 解　 [方法总结]　 (1)分数指数幂是一个正实数，即b＝⇔bn＝am，其中a，b均为正实数，且m，n∈N＋，m，n互素． (2)将bk＝d中的正实数b改写成分数指数幂的形式时，主要根据分数指数幂的意义，同时一定要注意式子中字母的取值要求． [训练1]　若b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝(　　) B　[若bn＝am(m，n∈N＋，a>0，b>0)，则b＝a，所以b＝.] (1)将下列各式化为根式： (2)将下列各式化为分数指数幂：①；②. 解　 [方法总结]　进行分数指数幂与根式的互化时，主要依据公式＝ (a＞0，m，n∈N＋)，同时应注意以下几点： (1)在分数指数幂中，若幂指数为负数，可先将其化为正数，再利用公式化为根式； (2)若表达式中根式较多，含有多重根号，则要先理清被开方数，由里向外逐次用分数指数幂表示，再运用相关的运算性质化简 [训练2]　(多空题)3化为根式是________；用分数指数幂表示 为__________. 探究三　指数幂的计算 计算下列各式的值：. 解　(1)设b＝8，由定义， 得b3＝82＝(23)2＝(22)3.∴b＝22＝4. ，由定义，得b2＝()3＝＝＝()2. ∴b＝(b>0). ∴()＝. [方法总结]　求指数幂的值时，先要将指数幂转化为根式的形式，再进行计算. 注意积累和记忆10以内的常用的正整数的幂值，这是快速、准确进行幂值计算的关键 解　原式＝－10×0.3＝－[＋()－1] －3＝－－3＝0. 1．3等于(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　 　D． D　[3＝＝.] 2．在式子(2x－2) 中，实数x的取值范围是________． (1，＋∞)　[依题意有2x－2>0，则x>1.] 3．计算64的值是__________． 　 4．求值： ＝________． 　[ ＝ ＝.] 5．计算下列各式的值： (1)()－3；(2)49. 解　(1)()－3＝＝＝8； 学科网（北京）股份有限公司 $$