2.4 第2课时 函数的奇偶性与简单幂函数的应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

第二课时　函数的奇偶性与简单幂函数的应用 [知能解读]　利用函数奇偶性求函数值的方法 (1)此类问题应充分运用奇(偶)函数的定义，构造函数，从而使问题得到快速解决． (2)在定义域关于原点对称的前提下，若解析式中仅含有x的奇次项，则函数为奇函数；若解析式中仅含有x的偶次项，则函数为偶函数．常利用此结论构造函数． 设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋)，则f(－1)＝________. －2　[因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)．又因为f(1)＝1×(1＋)＝2，所以f(－1)＝－2.] [变式1]　将本例中的条件“f(x)＝x(1＋)”改为“f(x)＝2x＋2x＋b (b为常数)”，求f(－1)的值． 解　因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0.解得b＝－1.所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1.所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2×1－1)＝－3. [变式2]　将本例中的题设改为“已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3”，求f(3)的值． 解　令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx， 则g(x)是奇函数．∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2. 又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2， ∴f(3)＝5＋2＝7. [变式3]　将本例中的题设改为“已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(d)＝10”，求f(－d)的值． 解　令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，易知g(x)为奇函数， 所以f(d)＝g(d)＋2＝10，即g(d)＝8. 所以f(－d)＝g(－d)＋2＝－g(d)＋2＝－8＋2＝－6. [方法总结]　解析式含参数，根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数求解，有时需求得参数值进而求得函数值．构造函数本着“避繁就简”的原则，若函数f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn为奇函数，则偶次项系数为零(包括常数项)；若函数f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn为偶函数，则奇次项系数为零． [训练1]　(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0 时，f(x)＝x2＋2x＋b，则f(－1)＝______． (2)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________． (1)－3　(2)3　[(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝b＝0.∴f(x)＝x2＋2x(x≥0). ∴f(－1)＝－f(1)＝－(1＋2)＝－3. (2) 两式相加得g(1)＝3.] [知能解读]　利用函数奇偶性求解析式时的注意事项 (1)求哪个区间上的解析式，就在那个区间上取x. (2)利用已知区间的解析式写出f(－x). (3)利用f(x)的奇偶性把f(－x)写成－f(x)或f(x)，从而解出f(x). (4)要注意R上的奇函数必有f(0)＝0. 求整个定义域内的解析式，各区间内解析式不一样时，其结果一般为分段函数的形式，此点易忽略． (1)已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，求f(x)在R上的解析式． (2)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x(2－x)，求函数f(x)的解析式． 解　(1)设x<0，则－x>0. ∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x. 又y＝f(x)是定义在R上的偶函数， ∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)＝x2＋2x(x<0). ∴f(x)＝ (2)∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0. 当x＞0时，－x＜0， f(－x)＝－x(2＋x)＝－f(x)， ∴f(x)＝x(x＋2)(x＞0). ∴f(x)＝ [方法总结]　这类问题常见的情形 (1)已知当x∈(a，b)时，f(x)＝φ(x)，求当x∈(－b，－a)时，f(x)的解析式． 若f(x)为奇函数，则当x∈(－b，－a)时，f(x)＝－f(－x)＝－φ(－x)； 若f(x)为偶函数，则当x∈(－b，－a)时，f(x)＝f(－x)＝φ(－x). (2)若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则f(0)＝0 [训练2]　设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求f(x)，g(x)的解析式． 解　∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x). 由f(x)＋g(x)＝，① 用－x代换x，得f(－x)＋g(－x)＝， 即f(x)－g(x)＝－.② 联立①②解得f(x)＝，g(x)＝. 探究三　函数奇偶性与单调性的综合应用 [知能解读]　 (1)