周周练6 函数的基本性质(范围：§ 3～4.1)-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

周周练6　函数的基本性质(范围：§ 3～4.1) (满分：100分　时间：80分钟) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．函数f(x)＝的图象关于(　　) A．y轴对称　　　　　 B．x轴对称 C．原点对称 D．直线y＝x对称 解析：选A.函数f(x)＝的定义域为R，且f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称． 2．函数f(x)＝－的单调递增区间是(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．(－2，2) D．(－∞，2)，(2，＋∞) 解析：选D.函数f(x)＝－的定义域为{x|x≠2}，又f(x)＝－的图象是由y＝－的图象向右平移2个单位长度而来，y＝－的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞). 所以f(x)＝－的单调递增区间为(－∞，2)，(2，＋∞). 3．“f(0)＝0”是“f(x)是定义在R上的奇函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.当f(0)＝0时，取f(x)＝x2，易知f(x)的图象不关于原点对称， 所以f(x)不一定是定义在R上的奇函数，即充分性不成立； 当f(x)是定义在R上的奇函数时，由奇函数的性质可知f(0)＝0，即必要性成立； 所以“f(0)＝0”是“f(x)是定义在R上的奇函数”的必要不充分条件． 4．已知定义在R上的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称，且函数y＝f(x－2)＋1是奇函数，则函数y＝g(x)图象的对称中心为(　　) A．(2，1) B．(－2，－1) C．(－2，1) D．(2，－1) 解析：选D.由函数y＝f(x－2)＋1是奇函数，则y＝f(x)的图象关于点(－2，－1)对称，又函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称，故y＝g(x)的图象关于点(2，－1)对称． 5．已知函数f(x)满足f(1－x)＝f(x＋3)，且f(x)在(0，2)上单调递增，则f(1)，f()，f()的大小顺序是(　　) A．f(1)<f()<f() B．f()<f(1)<f() C．f()<f()<f(1) D．f()<f()<f(1) 解析：选B.由函数f(x)满足f(1－x)＝f(x＋3)，得函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，显然f()＝f()，f()＝f()，而<1<，f(x)在(0，2)上单调递增，因此f()<f(1)<f()，所以f()<f(1)<f(). 6．(2026·南阳月考)已知f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则实数t的取值范围为(　　) A．[－1，2] B．[－1，0] C．[0，2] D．[1，2] 解析：选C.当x≤0时，f(x)＝x2－2tx＋t2，所以要使f(0)是f(x)的最小值，则t≥0，又当x>0时，f(x)＝x＋＋t≥2＋t＝2＋t，当且仅当x＝1时取等号， 所以2＋t≥f(0)＝t2，即t2－t－2≤0，解得－1≤t≤2，又因为t≥0，所以0≤t≤2. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．已知定义在R上的函数f(x).若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)>1，则下列结论正确的是(　　) A．若f(x)是奇函数，则f(x)的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．若f(x)是偶函数，则f(x)的值域为(1，＋∞)　 C．若f(x)是奇函数，则f(x)在(－∞，0)上单调递增 D．若f(x)是偶函数，则f(x)在(－∞，0)上单调递减 解析：选CD.当f(x)是定义在R上的奇函数时，f(0)＝0，即0在值域内，故A错误；当f(x)是定义在R的偶函数时，f(x)的图象关于y轴对称，因为函数f(x)在(0，＋∞)上的值域为(1，＋∞)，但在x＝0时的函数值不确定，故B错误；若f(x)是奇函数，因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，故C正确；若f(x)是偶函数，因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)在(－∞，0)上单调递减，故D正确．故选CD. 8．(2026·景德镇期中)定义运算：a⊗b＝设f(x)＝(5＋2x－x2)⊗|x－1|，则下面结论中正确的有(　　) A．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称 B．函数f(x)的图象与直线y＝5有三个公共点 C．函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－1]和[1，3] D．函数f(x)的最小值是2 解析：选ACD.由5＋2x－x2＝|x－1|，得x＝－1或x＝3，所以f(x)＝(5＋2x－x2)⊗|x－1|＝作出函数f(x)的图象如图所示， 由图象可知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，A正确；函数f(x)的图象与直线y＝5有四个公共点，B错误；函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－1]和[1，3]，C正确；函数f(x)的最小值是2，D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．若函数f(x)为定义在R上的偶函数，且f(－3)＝20，则f(3)＝________． 解析：因为函数f(x)为定义在R上的偶函数，且f(－3)＝20，所以f(3)＝f(－3)＝20. 答案：20 10．若函数y＝x2－4x＋3在区间[－1，m]上有最小值－1，则实数m的取值范围是____________________________． 解析：y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，要想取到最小值－1，则2∈[－1，m]，所以m≥2. 答案：[2，＋∞) 11．已知函数f(x)＝＋x3＋2(x≠0)，则f(－26)＋f(－25)＋…＋f(－1)＋f(1)＋…＋f(25)＋f(26)的值为________． 解析：由函数f(x)＝＋x3＋2(x≠0)，令g(x)＝＋x3(x≠0)，可得f(x)＝g(x)＋2，又由函数g(x)＝＋x3(x≠0)，可得定义域关于原点对称，且g(－x)＝＋(－x)3＝－－x3＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数，而f(－x)＝g(－x)＋2＝－g(x)＋2，所以f(－x)＋f(x)＝4，则f(－26)＋f(－25)＋…＋f(－1)＋f(1)＋…＋f(25)＋f(26)＝[f(－26)＋f(26)]＋[f(－25)＋f(25)]＋…＋[f(－1)＋f(1)]＝4×26＝104. 答案：104 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝为奇函数，且f(1)＝3. (1)求f(x)的解析式；(6分) (2)求证：f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．(7分) 解：(1)由函数f(x)为奇函数，且定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 可得f(－1)＝－f(1)， 即－(a－b＋1)＝－(a＋b＋1)， 解得b＝0， 又f(1)＝a＋1＝3，解得a＝2， 所以f(x)＝2x＋， 对任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－2x－＝－f(x)，　 满足f(x)为奇函数， 综上可得，f(x)＝2x＋(x≠0). (2)证明：对任意的x1，x2∈[1，＋∞)，令x1<x2， f(x1)－f(x2)＝2x1＋－(2x2＋)＝2(x1－x2)－ ＝， 由1≤x1<x2， 可得2x1x2>1，x1－x2<0， 则f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增． 13．(本小题满分15分)(2026·焦作月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋4x，函数f(x)在y轴左侧的图象如图所示． (1)画出f(x)在y轴右侧的图象，并写出函数f(x)的单调区间；(4分) (2)写出函数f(x)的解析式；(4分) (3)若a∈R，函数g(x)＝f(x)＋(12－a)x＋4(x∈[2，4])，求函数g(x)的最小值．(7分) 解：(1)函数f(x)是定义在R上的偶函数，即函数f(x)的图象关于y轴对称， 则函数f(x)的图象如图所示， 故函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2]，[0，2]，单调递增区间为[－2，0]，[2，＋∞). (2)令x>0，则－x<0， 则f(－x)＝(－x)2－4x＝x2－4x， 又因为函数f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(x)＝f(－x)＝x2－4x，x>0， 所以f(x)＝ (3)g(x)＝f(x)＋(12－a)x＋4 ＝x2＋(8－a)x＋4，x∈[2，4]， 易知函数g(x)图象的对称轴为直线x＝， 当<2，即a<12时，g(x)min＝g(2)＝24－2a； 当2≤≤4，即12≤a≤16时， g(x)min＝g()＝4－(a－8)2； 当>4，即a>16时，g(x)min＝g(4)＝52－4a. 综上所述， g(x)min＝ 14．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝是定义在R上的奇函数，且f(1)＝. (1)确定函数f(x)的解析式；(5分) (2)用定义证明f(x)在(1，＋∞)上单调递减；(5分) (3)若∀x∈(1，＋∞)都有f(2m－5)>f(3)，求m的取值范围．(5分) 解：(1)因为函数f(x)＝是定义在R上的奇函数，且f(1)＝， 则由解得 经检验f(x)＝符合题意， 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝. (2)证明：任取1<x1<x2，f(x1)－f(x2)＝－＝>0. 所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减． (3)由(2)可知，函数在(1，＋∞)上单调递减，又当x>1时f(2m－5)>f(3)， 则1<2m－5<3， 解得3<m<4. 所以m的取值范围为(3，4). 学科网（北京）股份有限公司 $