2.3 第2课时 函数单调性的证明及应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

第二课时　函数单调性的证明及应用 探究一　利用函数单调性定义证明函数单调性 [知能解读]　 1．增减函数定义中x1，x2的三个特征 (1)任意性：定义中“∀”不能去掉，应用时不能以特殊代替一般． (2)有大小：一般令x1<x2. (3)同区间：x1和x2属于同一个单调区间． 2．单调性的两个特性 (1) “整体”性：单调函数在同一个单调区间上具有的性质是相同的． (2) “局部”性：指的是一个函数在定义域不同区间内单调性可以不同；即使相同，单调区间与定义域也不一定相同． 证明：函数f(x)＝x＋在x∈(1，＋∞)上是增函数． 证明　∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－ ＝(x1－x2)＋＝(x1－x2). ∵x2>x1>1， ∴x1－x2＜0，x1x2＞1，x1x2－1＞0. ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2). ∴函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是增函数． [变式]　将本例中的条件“x∈(1，＋∞)”改为“x∈(0, 1)”，判断并证明函数f(x)＝x＋的单调性． 解　函数f(x)＝x＋在(0，1)上单调递减．证明如下： ∀x1，x2∈(0，1)，且x1<x2, 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－ ＝(x1－x2)＋＝(x1－x2). ∵0＜x1＜x2＜1， ∴x1－x2＜0，0＜x1x2＜1，x1x2－1＜0. ∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2). ∴函数f(x)＝x＋在(0，1)上是减函数． [方法总结]　利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子． (3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号． (4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性． [提醒]　作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式． [训练1]　利用单调性的定义证明：函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数． 证明　∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2) ＝－＝. 因为－1<x1<x2， 所以x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0. 所以＞0， 即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2). 所以y＝在(－1，＋∞)上是减函数． 探究二　已知函数的单调性求参数的值或范围 已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围． 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：求实数a的取值范围． 第二步，精读题目挖已知条件：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4]上是减函数． 第三步，建立联系寻解题思路：二次函数，开口向上，是减函数，看对称轴与单调区间端点的位置关系． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　∵f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2， ∴此二次函数图象的对称轴为直线x＝1－a. ∴f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]. ∵f(x)在(－∞，4]上是减函数， ∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合． ∴1－a≥4.解得a≤－3. ∴实数a的取值范围是(－∞，－3]. [变式1]　将本例中的条件“已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4]上是减函数”改为“若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，则f(4)＝________．” －14　[由题意得函数f(x)的图象关于直线x＝4对称，即－(a－1)＝4， ∴a＝－3.∴f(x)＝x2－8x＋2. ∴f(4)＝42－8×4＋2＝－14.] [变式2]　将本例中的条件“已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4]上是减函数”改为“函数f(x)的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？若改为“函数f(x)在[4，＋∞)上是增函数”呢？ 解　若f(x)的单调递减区间为(－∞，4]，则1－a＝4. ∴a＝－3. 若f(x)在[4，＋∞)上是增函数，则1－a≤4. ∴a≥－3，即a的取值范围是[－3，＋∞). [变式3]　将本例中的条件“已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4]上是减函数”改为“已知f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2是定义在(－1，1)上的减函数，且f(1－a)＜f(2a－1)”，求实数a的取值范围． 解　由题意得解得0＜a＜． ∴a的取值范围是(0，). [方法总结]　 (1)利用函数的单调性求字母的取值范围时，往往利用函数的图象解决，在解题时要注意函数的定义域． (2)函数的单