2.3 第1课时 函数单调性的概念与最值（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

§3　函数的单调性和最值 课程内容标准 学科素养凝练 1.利用函数图象，直观地观察函数的单调性． 2．利用特殊函数，理解函数单调性及几何意义． 3．会根据函数的单调性定义，判断、证明单调性． 通过对函数单调性的学习，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 第一课时　函数单调性的概念与最值 设函数y＝f(x)的定义域是D，I是定义域D上的一个区间： (1)如果对于任意的x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间I上单调递增．这时，区间I叫作函数y＝f(x)的单调递增区间． (2)如果对于任意的x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间I上单调递减．这时，区间I叫作函数y＝f(x)的单调递减区间． (3)如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性．单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间． (4)如果对于定义域D上任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是增函数． (5)如果对于定义域D上任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是减函数． (6)若存在实数M，对所有的x∈D，都有f(x)≤M，且存在x0∈D，使得f(x0)＝M，则称M为函数y＝f(x)的最大值． 同样可定义函数的最小值．函数的最大值和最小值统称为最值． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．(　×　) (2)若函数y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则区间[1，3]为函数y＝f(x)的单调递减区间．(　√　) (3)若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1，3)上为增函数．(　×　) (4)若函数f(x)在区间I上是减函数，且D⊆I，则f(x)在D上也是减函数．(　√　) 2．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是(　B　) A．y＝3－x　　　　　　 B．y＝x2＋1 C．y＝　　　　　　　 D．y＝－|x| 3．(教材P60练习3改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，其单调递增区间是(　　) A．[－4，4]　　　　　　　 B．[－4，－3]∪[1，4] C．[－3，1]　　　　　　　 D．[－3，4] C　[由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3，1].] 4．函数y＝f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．－1，0　　　　　　　 B．0，2 C．－1，2　　　　　　　 D．，2 C　[由图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－1.] [知能解读]　 1．判断函数单调性时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，则可根据其单调性写出函数的单调区间；若函数不是上述函数且函数图象容易作出，则可作出其图象，根据图象写出函数单调区间． 2．一般来说，在某区间上，由左到右图象是上升的，该区间就是函数的单调递增区间；在某区间内，由左到右图象是下降的，该区间就是函数的单调递减区间． 已知f(x)＝ 作出这个函数的图象，并判断函数的单调性． 解　作出图象如图所示， 由f(x)的图象可得，该函数在[－3，－2)，[0，1)，[3，6]上单调递减；在[－2，0)，[1，3]上单调递增． [方法总结]　利用图象判断函数单调性的基本步骤 (1)作图：作出函数的图象． (2)结论：图象上升的区间对应函数单调递增区间，图象下降的区间对应函数单调递减区间． [提醒]　当函数有多个单调区间时，区间之间用“和”或“，”连接，而不能用“∪”连接． [训练1]　如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 解　y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2，1)，[1，3)，[3，5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1，3)上是减函数，在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数． 已知函数f(x)＝ (1)在平面直角坐标系内画出f(x)的图象； (2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域． 解　(1)f(x)的图象如图所示． (2)由图可知f(x)的单调递增区间为[－1，0)，(2，5]，单调递减区间为[0，2]，值域为[－1，3]. [方法总结]　利用图象求函数最值的方法 (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)观察图象，找出图象的最高点和最低点； (3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值