1.4.1 一元二次函数（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4．1　一元二次函数 课程内容标准 学科素养凝练 1.了解一元二次函数的表达形式． 2．掌握一元二次函数的性质． 通过学习一元二次函数及其性质，达成数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养． 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的性质 1．函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条抛物线，顶点坐标是(h,_k)，对称轴是直线x＝h． 2．当a>0时，抛物线开口向上；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x＝h处有最小值，记作ymin＝k． 当a<0时，抛物线开口向下；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而减小；函数在x＝h处有最大值，记作ymax＝k． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)二次函数y＝3x2的开口比y＝x2的开口要大．(　×　) (2)要得到y＝－(x－2)2的图象，需要将y＝－x2向左平移2个单位长度．(　×　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)一定有最小值．(　×　) (4)二次函数y＝x2－2x＋1的对称轴为直线x＝－1.(　×　) 2．函数y＝2x(3－x)的图象可能是(　　) B　[由2x(3－x)＝0得x＝0或x＝3，可知图象与x轴的交点为(0，0)，(3，0)，排除A，C.又y＝2x(3－x)＝－2x2＋6x，所以图象开口向下，故排除D.] 3．把函数y＝x2的图象向下平移1个单位长度，将得到的函数图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到的图象的函数解析式为(　　) A．y＝2x2－1　　　　 B．y＝2x2－2 C．y＝2x2＋1　　　　　　　 D．y＝2x2＋2 B　[y＝x2→y＝x2－1→y＝2(x2－1)＝2x2－2.] 4．(多空题)二次函数y＝2x2与y＝－2x2的图象开口大小________，开口方向________． 相同　相反　[由|2|＝|－2|，知两者开口大小相同；由2>0，－2<0，知两者开口方向相反．] 5．若函数f(x)＝x2－2ax在(－∞，5]上是单调递减的，在[5，＋∞)上是单调递增的，则实数a＝________． 5　[由题知二次函数图象的对称轴为直线x＝5， ∴a＝5.] 若把函数y＝x2－6x＋6图象的横坐标缩小到原来的倍，得到图象C1，再把C1的纵坐标扩大到原来的2倍，得到图象C2，试写出图象C2的解析式． 解　y＝x2－6x＋6y＝(2x)2－12x＋6＝4x2－12x＋6＝4x2－12x＋6，即y＝8x2－24x＋12.所以图象C2的解析式为y＝8x2－24x＋12. [方法总结]　 (1)平移变换不改变图象的形状，只改变图象在平面直角坐标系中的位置． ①在x轴上平移，即把x换成(x±k)(k>0，左加右减)； ②在y轴上平移，即把y换成(y±h)(h>0，下加上减)． (2)伸缩变换改变图象的形状． ①把横坐标变化到原来的ω(ω>0且ω≠1)倍，即把x换成. ②把纵坐标变化到原来的λ(λ>0且λ≠1)倍，即把y换成. [训练1]　(多空题)二次函数y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y＝x2－2x＋1的图象，则b＝________，c＝________． －6　6　[二次函数y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的图象的函数解析式为y＝(x＋2)2＋b(x＋2)＋c＋3．整理得y＝x2＋(b＋4)x＋7＋2b＋c. 又由y＝x2－2x＋1，得解得] 求函数y＝ax2＋4ax＋4(a≠0)图象的对称轴，试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值． 解　y＝ax2＋4ax＋4＝a(x＋2)2＋4－4a，函数图象的对称轴为直线x＝－2. 当a>0时，在区间(－∞，－2]上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间[－2，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x＝－2处取得最小值4－4a，即ymin＝4－4a. 当a<0时，在区间(－∞，－2]上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间[－2，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而减小；函数在x＝－2处取得最大值4－4a，即ymax＝4－4a. [方法总结]　“配方法”是研究二次函数的主要方法，对一个具体的二次函数，我们对它进行配方，就可以知道这个二次函数的主要性质 [训练2]　求函数y＝5x2－4x－1的图象与x轴的交点坐标和对称轴，试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值． 解　令y＝0，即5x2－4x－1＝0，解得x1＝－，x2＝1.故函数图象与x轴的交点坐