1.3.2 第1课时 基本不等式（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

3．2　基本不等式 课程内容标准 学科素养凝练 1.探索并了解基本不等式的证明过程． 2．能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小． 3．能初步运用基本不等式证明简单的不等式． 4．能用基本不等式解决简单的最大值、最小值问题． 5．能够利用基本不等式解决生活中的实际应用题． 1.通过基本不等式的推导，增强逻辑推理的核心素养． 2．通过基本不等式的简单应用，提升逻辑推理与数学运算的核心素养． 3．通过基本不等式的应用，提升逻辑推理与数学运算的核心素养． 第一课时　基本不等式 1．重要不等式：对任意x，y∈R，都有≥xy，当且仅当x＝y时，等号成立． 2．基本不等式 (1)设a≥0，b≥0，则有≥，当且仅当a＝b时，等号成立．这个不等式称为基本不等式． (2)其中称为a，b的算术平均值，称为a，b的几何平均值． (3)基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．(　×　) (2)≥ .(　√　) (3)若a>0，b>0，则ab≤恒成立．(　×　) 2．下列不等式正确的是(　　) A．a＋≥2 B．(－a)＋(－)≤－2 C．a2＋≥2 D．(－a)2＋(－)2≤－2 C　[∵a2＞0，∴a2＋≥2成立．] 3．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　A　) A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab| C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2＞2|ab| 4．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a－b<0　　　　　 B．0<<1 C．<　　　　　　　 D．ab>a＋b C　[a>b>0，由基本不等式知<一定成立．] [知能解读]　　在基本不等式的应用过程中要注意“一正、二定、三相等”．一正，a，b均为正数；二定，不等式一边为定值；三相等，不等式中的等号能取到，即a＝b有解． (多选题)下列式子中正确的是(　　) A．a2＋1＞2a　　　　　 B．≥2 C．≥2　　　　　　　 D．x2＋≥1 BD　[对于A，∵a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，∴a2＋1≥2a，A不正确．对于B，当x＞0时，＝x＋≥2(当且仅当x＝1时等号成立)；当x＜0时，＝－x－≥2(当且仅当x＝－1时等号成立).∴B正确．对于C，当a＝b＝－1时，＝－2＜2，∴C不正确．对于D，x2＋＝x2＋1＋－1≥1(当且仅当x＝0时等号成立)，∴D正确．] [方法总结]　对于基本不等式背景下的不等式恒成立问题，要判断不等式是否成立，关键是把握运用基本不等式时能否严格遵循“一正、二定、三相等”这三个条件． [训练]　若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是______________．(填序号) ①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2. ①③　[对于①，∵ab≤()2＝1，∴①成立．对于②，∵(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2>2，∴＋>.∴②不成立．对于③，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab，由①知ab≤1， ∴2ab≤2.∴－2ab≥－2，即4－2ab≥2. ∴③成立．] [知能解读]　 1．两个不等式(重要不等式、基本不等式)都具有放缩的功能，因此利用不等式可以将数式放大或缩小，即可用来判断大小关系． 2．利用基本不等式证明不等式 (1)利用基本不等式证明不等式时，可依据求不等式两端的结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证明，如≥xy(x, y∈R)可变形为x2＋y2≥2xy；≥可变形为ab≤()2等．同时要从整体上把握基本不等式，如a4＋b4≥2a2b2，a2b2＋ b2c2≥2(ab)(bc)都是对“≥xy(x, y∈R)”的灵活运用． (2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意等号成立的条件． 已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋)·(1＋)≥9. 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：结合条件a＋b＝1将待证不等式的左边进行适当变形． 第二步，精读题目挖已知条件：a>0，b>0，所以>0，>0. 第三步，建立联系寻解题思路：利用基本不等式进行证明． 第四步，书写过程养规范习惯． 证明　 证法一　∵a＋b＝1， ∴1＋＝1＋＝2＋.同理，1＋＝2＋. ∴(1＋)(1＋)＝(2＋)(2＋) ＝4＋1＋2(＋)≥5＋4＝9， 当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立． 证法二　∵(1＋)(1＋) ＝1＋＋＋＝1＋＋， 又a＋b＝1，∴(1＋)(1＋)＝1＋. 又ab≤()2＝， ∴≥4，1＋≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立)． [变式1]　将例题中的条件“a>0