1.3.1 不等式的性质（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

§3　不等式 3．1　不等式的性质 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解不等式的性质． 2．掌握不等式性质的简单应用． 通过不等式性质的应用，进一步增强逻辑推理的核心素养． 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b．反过来也成立．即a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b． 性质1：如果a＞b，且b＞c，那么a＞c． 性质2：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c． 性质3： (1)如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc； (2)如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc． 性质4：如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d． 性质5： (1)如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd； (2)如果a＞b＞0，c<d<0，那么ac<bd； (3)特殊地，当a＞b＞0时，an＞bn，其中n∈N＋，n≥2. 性质6：当a＞b＞0时，＞，其中n∈N＋，n≥2. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若a＞b，则ac＞bc一定成立．(　×　) (2)a＞b⇔a＋c＞b＋c.(　√　) (3)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d.(　×　) (4)a>b⇔a2>b2.(　×　) 2．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使货车总质量T不超过40吨，用不等式表示为(　　) A．T<40　　　　　　　 B．T>40 C．T≤40　　　　　　　 D．T≥40 C　[限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.] 3．(教材P26练习6改编)已知a＜b＜0，c＜d＜0，那么下列判断中正确的是(　B　) A．a－c＜b－d　　　　　　　 B．ac＞bd C．＜　　　　　　　 D．ad＞bc 4．已知a＞b，c＞d，且cd≠0，则(　D　) A．ad＞bc　　　　　　　 B．ac＞bc C．a－c＞b－d　　　　　　　 D．a＋c＞b＋d 5．若a＞b＞0，n∈N＋，n≥2，则____＜____.(填“＞”“＜”或“＝”) [知能解读]　比较两个实数(或代数式)的大小 比较两个实数(或代数式)的大小，通常用作差法．其解题思路：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提． 已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小． 解　(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)， ∵x2－x＋1＝(x－)2＋≥＞0， 又∵x＞1，∴(x－1)(x2－x＋1)＞0. ∴x3－1＞2x2－2x. [变式1]　若本例中已知条件“x＞1”改为“x∈R”，又该如何作答？ 解　(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1)， ∵x2－x＋1＝(x－)2＋≥＞0， ∴当x＞1时，(x－1)(x2－x＋1)＞0， 即x3－1＞2x2－2x； 当x＝1时，(x－1)(x2－x＋1)＝0， 即x3－1＝2x2－2x； 当x＜1时，(x－1)(x2－x＋1)＜0， 即x3－1＜2x2－2x. [变式2]　已知n>0，试比较与2的大小； 解　∵＝＋， ∴－2＝－. ∵n>0，∴>，即 >2. [变式3]　已知a>0，b>0，试比较＋ 与 ＋的大小． 解　方法一　＋－(＋) ＝＋＝(a－b)· ＝， ∵a>0，b>0， ∴＋>0，>0，(－)2≥0. ∴≥0， 即＋≥＋. 方法二　(＋)2－(＋)2 ＝＋＋2－a－b－2 ＝－(a＋b) ＝， ∵a>0，b>0， ∴a＋b>0，ab>0，(a－b)2≥0. ∴≥0， 即(＋)2≥(＋)2. ∴＋≥＋. [方法总结]　利用作差法比较两个实数(或代数式)大小的步骤及变形方法 (1)利用作差法比较两个实数(或代数式)大小的步骤：作差→ 变形→ 定号→结论． (2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论． (3)在遇到无理数(式)比较大小时，为方便起见可将分子或分母有理化再作比较，如果比较大小的两个数(式子)都是正数，那么可先乘方再作比较． [训练]　(1)设x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小． 解　(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)(x2＋y2)－(x－y)(x＋y)2 ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2] ＝(x－y)(－2xy). ∵x＜y＜0，∴x－y＜0，－2xy＜0. ∴(x－y)(－2xy)＞0， 即(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y). (2)若a>b>0，试比较 与 －的大小． 解