第1章 阶段测评(四) 一元二次函数与一元二次不等式（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

阶段测评(四)　一元二次函数与一元二次不等式 (时间：60分钟　满分：75分) 一、单项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．(2019·全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝(　　) A．(－∞，1)　　　　　　 B．(－2，1) C．(－3，－1)　　　　　　　 D．(3，＋∞) A　[∵A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，∴A∩B＝{x|x<1}．] 2．若不等式4x2＋ax＋4＞0的解集为R，则实数a的取值范围是(　　) A．(－16，0)　　　　　　　 B．(－16，0] C．(－∞，0)　　　　　　　 D．(－8，8) D　[不等式4x2＋ax＋4＞0的解集为R，∴Δ＝a2－4×4×4＜0，解得－8＜a＜8.∴实数a的取值范围是(－8，8).] 3．某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金，某顾客要购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将5 g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金(　　) A．大于10 g B．小于10 g C．大于等于10 g D．小于等于10 g A　[设两臂长分别为a，b，两次放入的黄金数是x，y，依题意有ax＝5b，by＝5a，∴xy＝25． ∵≥，∴x＋y≥10.又a≠b，∴x≠y. ∴x＋y＞10. ∴顾客实际所得黄金大于10 g．] 4．已知函数f(x)＝(x≥2)，若f(x)＞0，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0)　　　　　　　 B．(0，＋∞) C．[1，＋∞)　　　　　　　 D．(1，＋∞) B　[∵x∈[2，＋∞)，f(x)＝＞0，∴x2－2x＋a＞0，即a＞－x2＋2x.∵x≥2，结合二次函数的性质可知，当x＝2时，－x2＋2x取得最大值0，∴a＞0.] 二、多项选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．) 5．已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y可以取到的值为(　　) A．2　　　　　　　 B．4 C．6　　　　　　　 D．8 CD　[方法一　由已知得xy＝9－(x＋3y)，即3xy＝27－3(x＋3y)≤()2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时等号成立．令x＋3y＝t，则t>0，且t2＋12t－108≥0，得t≥6.即x＋3y≥6. 方法二　因为x＋3y＝9－xy≥2， 所以()2＋2·－9≤0. 所以(＋3)(－)≤0. 所以0<xy≤3.所以x＋3y＝9－xy≥6.] 6．在R上定义运算：＝ad－bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的(　　) A．最小值是－　　　　　　　 B．最小值是－2 C．最大值是　　　　　　　 D．最大值是2 AC　[原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1， 即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立． 又x2－x－1＝(x－)2－≥－， 所以－≥a2－a－2，解得－≤a≤.] 三、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分．请把正确答案填在题中横线上．) 7．不等式ax2－6x＋a>0对x∈R恒成立，则实数a 的取值范围是________． (3，＋∞)　[当a＝0时，不等式的解为x<0，与已知矛盾．当a≠0，需满足解得a>3．综上可知a>3.] 8．(多空题)已知x＞0，则当x＝______时，取得最大值为________． 2　　[因为＝，又x>0时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝， 即x＝2时等号成立，所以0<≤，即的最大值为.] 四、解答题(本题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 9．(10分)你能用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形吗？ 解　设围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x) m，且0<x<50. 由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)>600，即x2－50x＋600<0，解得20<x<30. 所以当矩形一边的长在(20，30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形． 10．(12分)当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集是全体实数？ 解　①当a2－1＝0，即a＝±1时， 若a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立； 若a＝－1，则原不等式为2x－1<0， 解得x＜，不符合题目要求，舍去． ②当a2－1≠0，即a≠±1时， 原不等式的解集为R的条件是 解得－＜a＜1. 综上可知，当－＜a≤1时，原不等式