第1章 阶段测评(三) 不等式（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

阶段测评(三)　不等式 (时间：60分钟　满分：75分) 一、单项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．设P＝2a(a－2)＋3，Q＝(a－1)(a－3)，a∈R，则有(　　) A．P≥Q　　　　　　　 B．P＞Q C．P＜Q　　　　　　　 D．P≤Q A　[P－Q＝2a(a－2)＋3－(a－1)(a－3)＝a2≥0， ∴P≥Q.] 2．若a>b，则下列不等式一定成立的是(　　) A．<　　　　　　　 B．a5>b5 C．ac2>bc2　　　　　　　 D．|a|>|b| B　 [若a>b，则与的大小关系不确定．因为函数y＝x5在R上单调递增，所以a5>b5.当c＝0时，ac2＝bc2.当a＝－1，b＝－2时，|a|>|b|不成立．因此只有选项B成立．] 3．已知正实数x，y满足x＋y＝3，则＋的最小值是(　　) A．2　　　　　　　 B．3 C．4　　　　　　　 D． B　[∵x＋y＝3，x＞0，y＞0，∴(x＋y)＝1. ∴＋＝(＋)(x＋y)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝3，当且仅当x＝2y即x＝2，y＝1时等号成立．] 4．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300 t垃圾，最多要处理600 t垃圾，月处理成本(元)与月处理量(t)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－300x＋80 000，为使每吨的平均处理成本最低，该厂每月处理量应为(　　) A．300 t　　　　　　　 B．400 t C．500 t　　　　　　　 D．600 t B　[∵y＝x2－300x＋80 000，300≤x≤600，∴＝x＋－300≥2－300＝100，当且仅当x＝，即x＝400时等号成立．∴为使每吨的平均处理成本最低，该厂每月处理量应为400 t．] 二、多项选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．) 5．若a>0>b>－a，c<d<0，则下列命题中能成立的是(　　) A．ad＞bc　　　　　　　 B．＋＜0 C．a－c＞b－d　　　　　　　 D．a(d－c)＞b(d－c) BCD　[因为a>0>b，c<d<0，所以ad<0，bc>0. 所以ad<bc.所以选项A错误． 因为a>0>b>－a，所以a>－b>0. 因为c<d<0，所以－c>－d>0. 所以a(－c)>(－b)(－d).所以ac＋bd<0. 所以＋＝<0.所以选项B正确． 因为c<d，所以－c>－d. 因为a>b，所以a＋(－c)>b＋(－d). 即a－c>b－d，所以选项C正确． 因为a>b，d－c>0， 所以a(d－c)>b(d－c).所以选项D正确．] 6．若对任意x>0，≤a恒成立，则a可能的取值是(　　) A．　　　　　　　 B． C．　　　　　　　 D． BCD　[因为对任意x>0，≤a恒成立，所以对任意x>0，a≥()max.而对任意x>0，＝≤＝，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，所以a≥.] 三、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分．请把正确答案填在题中横线上．) 7．函数3x2＋的最小值是________． 6－3 　[3x2＋＝3(x2＋1)＋－3≥6－3，当且仅当3(x2＋1)＝，即x＝± 时等号成立．] 8．(多空题)一批货物随17列货车从A市以v km/h的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400 km.为了安全，两列货车的间距不得小于()2km，那么这批货物全部运到B市，最快需要________h，此时的车速为 ________km/h． 8　100　[设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t＝＝＋≥2＝8(h)，当且仅当＝，即v＝100时等号成立，此时t＝8 h．] 四、解答题(本题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 9．(10分)比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R. 解　x6＋1－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1)＝(x2－1)2(x2＋1)≥0， ∴当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2； 当x≠±1时，x6＋1＞x4＋x2. 综上，x6＋1≥x4＋x2， 当且仅当x＝±1时等号成立． 10．(12分)一个铝合金窗是由一个框架和部分外推窗框组成，其中框架设计如图所示，其结构为上、下两栏，下栏为两个完全相同的矩形，四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均为8 cm，上栏和下栏的框内矩形高度(不含铝合金部分)比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积为20 000 cm2.设该铝合金窗的宽和高分别a cm，b cm，铝合金的透光部分的面积为S cm2. (