第1章 阶段测评(二) 常用逻辑用语（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

阶段测评(二)　常用逻辑用语 (时间：60分钟　满分：75分) 一、单项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．下列存在量词命题是假命题的为(　　) A．存在x∈Q，使2x－x3＝0 B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C．有的素数是偶数 D．有的有理数没有倒数 B　[对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0恒成立．] 2．“x＝1”是“(x－1)(x－2)＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[由(x－1)(x－2)＝0，得x＝1或x＝2， ∴x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，(x－1)(x－2)＝0x＝1.] 3．已知命题p：x＋y＝－2，命题q：x，y都等于－1，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[x＋y＝－2x＝－1，y＝－1；x＝－1，y＝－1⇒x＋y＝－2，故p是q的必要不充分条件．] 4．若不等式|x－a|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则实数a的取值范围是(　　) A．(，) B． C．(－∞，)∪(，＋∞) D．(－∞，]∪[，＋∞) B　[由|x－a|＜1，得a－1＜x＜a＋1. 由题意，得(等号不能同时成立)， 即≤a≤.] 二、多项选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．) 5．若“－1＜x＜2”是“－2＜x＜a”的充分不必要条件，则实数a的值可以是(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 BCD　[∵“－1＜x＜2”是“－2＜x＜a”的充分不必要条件，∴{x|－1＜x＜2}{x|－2＜x＜a}．∴a≥2.∴实数a的值可以是2, 3, 4.] 6．有限集合S中元素的个数记作card(S)，设A，B都为有限集合，下列命题为真命题的是(　　) A．A∩B＝∅的充要条件是card(A∪B)＝card(A)＋card(B) B.A⊆B的必要条件是card(A)≤card(B) C．AB的充要条件是card(A)≤card(B) D．A＝B的充要条件是card(A)＝card(B) AB　[若A∩B＝∅，则集合A与集合B没有公共元素，选项A正确．若A⊆B，则集合A中的元素都是集合B中的元素，选项B正确．若AB，则集合A中至少有一个元素不是集合B中的元素．因此A中元素的个数有可能多于B中元素的个数，选项C错误．若A＝B，则集合A中的元素与集合B中的元素完全相同．两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，选项D错误．] 三、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分．请把正确答案填在题中横线上．) 7．(多空题)下列命题中的全称量词命题是______；存在量词命题的是______．(填序号) ①正方形的四条边相等； ②有些等腰三角形是等边三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数． ①③　②④　[①③是全称量词命题，②④是存在量词命题．] 8．设x，y∈R，那么“x>y>0”是“>1”的______条件．(填“充分”或“必要”) 充分　[x＞y＞0⇒＞1，>1⇒>0⇒x>y>0或x<y<0，因此“x>y>0”是“>1”的充分条件．] 四、解答题(本题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 9．(10分)已知p：|x－2|≤5，q：x≥－1或x≤5，判断p是q的什么条件，并说明理由． 解　p是q的充分不必要条件．理由如下： p：|x－2|≤5的解集为P＝{x|－3≤x≤7}；q：x≥－1或x≤5就是实数集R. ∵PR，∴p⇒q，但q p. ∴p是q的充分不必要条件． 10．(12分)已知命题p：任意x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p与q都是真命题，求实数a的取值范围． 解　由命题p为真，可得不等式x2－a≥0在x∈[1，2]上恒成立，所以a≤(x2)min，x∈[1，2].所以a≤1. 若命题q为真，则方程x2＋2ax＋2－a＝0有实数根． 所以判别式Δ＝4a2－4(2－a)≥0. 所以a≥1或a≤－2. 又因为p，q都为真命题， 所以所以a≤－2或a＝1. 所以实数a的取值范围是(－∞，－2]∪{1}． 11．(13分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 证明　①必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0， 则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0