单元素养强化(五) 指数运算与指数函数（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

单元素养强化(五)　指数运算与指数函数 1．化简·的结果是(　　) A．　　　　　　　 B．－ C．　　　　　　　 D．－ B　[由题意可知a≤0， ＝－＝－.] 2．已知f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是(　　) A．(0，＋∞)　　　　　　　 B．(1，＋∞) C．(－∞，1)　　　　　　　 D．(0，1) D　[∵－2＞－3，f(－2)＞f(－3)， 又f(x)＝a－x＝()x，∴()－2＞()－3. ∴＞1.∴0＜a＜1.] 3．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(x)的值域为(　　) A．[9，81]　　　　　　　 B．[3，9] C．[1，9]　　　　　　　 D．[1，＋∞) C　[由f(x)过定点(2，1)可知b＝2，因为f(x)＝3x－2在[2，4]上是增函数，f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9，所以f(x)的值域为[1，9].] 4．已知x，y∈R，且2－x＋3－y>2y＋3x，则下列各式中正确的是(　　) A．x－y>0　　　　　　　 B．x＋y<0 C．x－y<0　　　　　　　 D．x＋y>0 B　[将不等式变形为2－x－3x>2y－3－y， 令F(x)＝2－x－3x，则F(x)为减函数． 又F(x)>F(－y)，∴x<－y.∴x＋y<0 .] 5．函数y＝ax在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则a等于(　　) A．　　　　　　　 B．2 C．4　　　　　　　 D． B　[当0<a<1时，显然不合题意，∴由已知得a>1，当x＝0时，ymin＝a0＝1，当x＝1时，ymax＝a1＝a.又∵1＋a＝3，∴a＝2. ] 6．若函数f(x)＝在(1，3)上是增函数，则关于x的不等式ax－1＞1的解集为(　　) A.{x|x＞1}　　　　　　　 B．{x|x＜1} C．{x|x＞0}　　　　　　　 D．{x|x＜0} A　[y＝2x2－3x＋1的对称轴是x＝，开口向上，故函数在(1，3)上递增．而f(x)在(1，3)上递增，根据复合函数同增异减的原则，a＞1.因为ax－1＞1＝a0，所以x－1＞0，解得x＞1 .] 7．设函数若f(x0)>1，则x0的取值范围是________________． (－∞，－1)∪(1，＋∞)　[若x0≤0，则有2－x0－1>1，得x0<－1；若x0>0，则有>1，得x0>1. 综上，x0∈(－∞，－1)∪(1，＋∞).] 8．若不等式>对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是____________． [0，1)　[不等式即为>3－1，则有ax2－2ax>－1，即ax2－2ax＋1>0对一切实数x恒成立． 当a＝0时，满足题意；当a≠0时，要满足题意，则需a>0且Δ＝(－2a)2－4a<0，即a2－a<0，解得0<a<1.综上，实数a的取值范围是[0，1).] 9．设函数f(x)＝()10－ax，a是不为零的常数． (1)若f(3)＝，求使f(x)≥4的x的取值范围． (2)当x∈[－1，2]时，f(x)的最大值是16，求a的值． 解　(1)由f(3)＝得a＝3，不等式f(x)≥4可化为23x－10≥22，∴x≥4.∴x的取值范围是[4，＋∞). (2)当a＞0时，f(x)＝2ax－10是增函数， 则22a－10＝16，解得a＝7. 当a＜0时，f(x)＝2ax－10是减函数， ∴2－a－10＝16，解得a＝－14. 综上，a＝－14或a＝7. 10．对于函数f(x)＝a－(x∈R). (1)判断并证明函数的单调性． (2)是否存在实数a，使函数f(x)为奇函数？证明你的结论. 解　(1)函数f(x)为R上的增函数． 证明：函数f(x)的定义域为R.任取x1，x2∈R，且x1＜x2， 有f(x1)－f(x2) ＝(a－)－(a－) ＝－＝. 因为y＝2x是R上的增函数，x1＜x2， 所以2x1－2x2＜0.又2x1＋1＞0，2x2＋1＞0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2). 所以函数f(x)为R上的增函数． (2)因为x∈R，f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即a＝1. 所以存在实数a＝1，使函数f(x)为奇函数． 证明：当a＝1时，f(x)＝1－＝. 对任意x∈R，f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，又f(x)的定义域为R，所以f(x)为奇函数． 11．已知函数f(x)＝4x－2·2x＋1－6，其中x∈[0，3]. (1)求函数f(x)的最大值和最小值． (2)若实数a满足f(x)－a≥0恒成立，求a的取值范围． 解　(1)f(x)＝(2x)2－4·2x－6(0≤x≤3)， 令t＝2x，因为0≤x≤3，所以1≤t≤8. 令h(t)＝t2－4