单元素养强化(三) 不等式、 一元二次函数与一元二次不等式（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

单元素养强化(三)　不等式、一元二次函数与一元二次不等式 1．若a＞b＞c，则下列不等式成立的是(　　) A．＞　　　 B．＜ C．ac＞bc　　　　　　　 D．ac＜bc B　[∵a＞b＞c，∴a－c＞b－c>0. ∴＜.] 2．已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是(－1，2)，则a＋b的值为(　　) A．1　　　　　　　 B．－1 C．0　　　　　　　 D．－2 C　[易知⇒∴a＋b＝0.] 3．不等式x2－ax－12a2＜0(其中a＜0)的解集为(　　) A．{x|－3a＜x＜4a} B．{x|4a＜x＜－3a} C．{x|－3＜x＜4} D．{x|2a＜x＜6a} B　[方程x2－ax－12a2＝0的两根为4a，－3a，且4a＜－3a，∴4a＜x＜－3a. 即不等式的解集为{x|4a＜x＜－3a}．] 4．已知x，y为正实数，且x＋y＋＋＝5，则x＋y 的最大值是(　　) A．3　　　　　　　 B． C．4　　　　　　　 D． C　[∵x＋y＋＋＝5，x＞0，y＞0， ∴(x＋y)[5－(x＋y)] ＝(x＋y)(＋) ＝2＋＋≥2＋2＝4. ∴(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0， ∴1≤x＋y≤4，∴当且仅当x＝y＝2时，x＋y取最大值4.] 5．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为(　　) A．12元 B．16元 C．12元到16元之间 D．10元到14元之间 C　[设销售价定为每件x元，利润为y元， 则y＝(x－8)[100－10(x－10)]. 依题意得(x－8)[100－10(x－10)]＞320， 即x2－28x＋192＜0，解得12＜x＜16， 所以每件销售价应为12元到16元之间．] 6．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是________． [0，4]　[①若a＝0，则1<0不成立，此时解集为∅. ②若a≠0，则解得0<a≤4. 综上，实数a的取值范围是[0，4].] 7．已知三个不等式：①ab>0，②－<－，③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确的命题． 3　[若①②成立，则ab(－)<ab(－)，即－bc<－ad.∴bc>ad，即③成立． 若①③成立，则>. ∴>.∴－<－，即②成立． 若②③成立，则由②得>，即>0. 由③得bc－ad>0，则ab>0，即①成立． 故可组成3个正确的命题．] 8．若不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集是{x|－3＜x＜1}． (1)解不等式2x2＋(2－a)x－a＞0. (2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R. 解　(1)由题意知1－a＜0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两个根， ∴ 解得a＝3.∴不等式2x2＋(2－a)x－a＞0， 即为2x2－x－3＞0，解得x＜－1或x＞. ∴所求不等式的解集为. (2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，若此不等式的解集为R，则b2－4×3×3≤0. ∴当b∈[－6，6]时，不等式的解集为R. 9．解关于x的不等式ax2－2ax＋a＋3＞0. 解　当a＝0时，解集为R； 当a＞0时，Δ＝－12a＜0，∴解集为R. 当a＜0时，Δ＝－12a＞0，方程ax2－2ax＋a＋3＝0的两个根分别为，， ∴此时不等式的解集为{x|＜x＜}． 综上，当a≥0时，不等式的解集为R；a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜}． 10．已知关于x的不等式x2－3x＋m<0的解集是{x|1<x<n}． (1)求实数m，n的值． (2)若正数a，b满足ma＋2nb＝3，求a·b的最大值． 解　(1)由题意可知1，n是x2－3x＋m＝0的两个根，由根与系数的关系得解得 (2)把m＝2，n＝2代入ma＋2nb＝3得a＋2b＝. 因为a＋2b≥2，所以≥2. 故a·b≤，当且仅当a＝2b＝，即a＝，b＝时等号成立．所以a·b的最大值为. 11．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价． 解　(1)设每件定价为