单元素养强化(七) 函数应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

单元素养强化(七)　函数应用 1．函数f(x)的图象与x轴有3个交点，则方程f(x)＝0的实数根的个数是(　　) A．0　　　　　　　　 B．1 C．2　　　　　　　 D．3 D　[因为函数f(x)的图象与x轴有3个交点，所以函数f(x)有3个零点，即方程f(x)＝0有3个实数根．] 2．若x0是方程ln x＋x＝4的解，则x0属于区间(　　) A．(0，1)　　　　　　　 B．(1，2) C．(2，3)　　　　　　　 D．(3，4) C　[构造函数f(x)＝ln x＋x－4，则函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线．又f(2)＝ln 2＋2－4<0，f(3)＝ln 3＋3－4>0，所以f(2)·f(3)<0.故函数的零点所在区间为(2，3)，即方程ln x＋x＝4的解x0属于区间(2，3).] 3．已知函数f(x)＝()x－log2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0<x1<x0，则f(x1)的值(　　) A．恒为正　　　　　　　 B．等于0 C．恒为负　　　　　　　 D．不大于0 A　[因为函数f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数，且f(x0)＝0，所以当x∈(0, x0)时，均有f(x)>0. 又因为0<x1<x0，所以f(x1)>0.] 4．已知函数t＝－144lg (1－)的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(h)表示达到打字速度N(字/分)所需的学习时间，则按此曲线，要达到90字/分的打字速度，所需的学习时间是(　　) A．144 h　　　　　　　 B．90 h C．60 h　　　　　　　 D．40 h A　[由N＝90可知，t＝－144lg (1－)＝144(h).] 5．若方程x2＋(m－2)x＋(5－m)＝0的两根都大于2，则m的取值范围是(　　) A．(－5，－4] B．(－∞，－4] C．(－∞，－2) D．(－∞，－5)∪(－5，－4] A　[设函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋(5－m)，由条件知它的两个零点都大于2，其图象如图所示． 由图可知，即 ∴－5<m≤－4.] 6．现有含盐7%的食盐水200 g，要将它制成工业生产上需要的含盐在5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需加入4%的食盐水x g，则x的取值范围是___________________________． (100，400)　[设溶液的浓度为y， 则y＝. 由0.05<y<0.06，得100<x<400.] 7．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1, 2)内，则下一步可以断定该根所在区间为____________． (，2)　[设f(x)＝x3－2x－1，因为一个根在区间(1，2)上，所以根据二分法的规则，取区间中点.因为f(1)＝－2<0，f()＝－<0，f(2)＝3>0，所以下一步可以断定该根所在区间是(，2).] 8．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________(填“甲”或“乙”)作为函数模型． 甲　[将x＝3分别代入y＝x2＋1及y＝3x－1中，得y＝32＋1＝10，y＝3×3－1＝8.由于10更接近10.2，所以选用甲模型．] 9．判断方程x3－4x－2＝0在区间[－2，0]内的实数根的个数． 解　设f(x)＝x3－4x－2，则f(x)的图象是连续曲线．而f(－2)＝－2<0，f(0)＝－2<0，取区间[－2，0]内一点－1，得f(－1)＝1>0，取x＝3，得f(3)＝13>0， ∴函数f(x)满足f(－2)·f(－1)<0，f(－1)·f(0)<0，f(0)·f(3)<0. ∴f(x)分别在(－2，－1)，(－1，0)，(0，3)内至少存在一个零点． 又∵x3－4x－2＝0最多有3个实数根，∴方程x3－4x－2＝0在区间[－2，0]内有2个实数根． 10.已知矩形ABCD，|AB|＝4，|AD|＝1，点O为线段AB的中点．动点P沿矩形ABCD的边从点B逆时针运动到点A.当点P运动的路程为x时，记点P的运动轨迹与线段OP，OB围成的图形面积为f(x). (1)求f(x)的表达式． (2)若f(x)＝2，求x的值． 解　(1)当x∈[0，1]时，f(x)＝·OB·x＝x； 当x∈(1，5]时，f(x)＝＝(x＋1)； 当x∈(5，6]时， f(x)＝4×1－×2×(6－x)＝x－2. 所以f(x)＝ (2)若f(x)＝2，显然1<x≤5， 所以f(x)＝(x＋1)＝2，解得x＝3. 11．某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块矩形地面建造一幢公寓．问如何设计才能使公寓占地面积最大？求出最大面积．(尺寸单位：m