单元素养强化(二) 常用逻辑用语（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

单元素养强化(二)　常用逻辑用语 1．已知命题p：∀x∈R，x≥1，则命题p的否定为(　　) A．∀x∈R，x≤1 B．∃x∈R，x<1 C．∀x∈R，x≤－1 D．∃x∈R，x<－1 B　[全称量词命题的否定形式为∃x∈R，x<1.] 2．“x>0”是“x≠0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分条件 D．既不充分也不必要条件 A　[∵x>0⇒x≠0，而x≠0/⇒x>0， ∴x>0是x≠0的充分不必要条件．] 3．“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 C　[∵－2<x<1/⇒x>1或x<－1，且x>1或x<－1/⇒－2<x<1，∴“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的既不充分也不必要条件．] 4．下列全称量词命题中真命题的个数是(　　) ①末位是0或5的整数，可以被5整除； ②钝角都相等； ③三棱锥的底面是三角形． A．0　　　　　　　 B．1 C．2　　　　　　　 D．3 C　 [①正确；②错误，钝角不一定都相等，如120°，150°是钝角，但不相等；③正确，三棱锥的四个面都是三角形．] 5．(多选题)已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是r的充分条件，q是s的必要条件．则下列命题中正确的是(　　) A．s是q的充要条件 B．p是q的充分不必要条件 C．r是q的必要不充分条件 D．r是s的充分不必要条件 AB　[由p是r的充分不必要条件，可得p⇒r，由s是r的必要条件可得r⇒s，由q是r的充分条件得q⇒r，由q是s的必要条件可得s⇒q，故可推出关系如图所示． 据此可判断命题A，B正确．] 6．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题p是真命题，则实数a的取值范围是________． (－∞，1]　[存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，∴Δ＝4－4a≥0.∴a≤1.] 7．已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是__________． [－1，5]　[因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件， 所以Q⊆P. 所以即所以－1≤a≤5.] 8．下列命题： ①∀x∈R，x2＋1>0； ②∀x∈N，x2≥1； ③∃x∈Z，x3<1； ④∃x∈Q，x2＝3； ⑤∀x∈R，x2－3x＋2＝0. 其中所有真命题的序号是__________． ①③　[①∀x∈R，x2＋1>0；②∀x∈N，x2≥0；③∃x＝0∈Z，x3<1；④x2＝3⇒x＝±∉Q；⑤当x＝0时，x2－3x＋2≠0.所以①③为真命题．] 9．对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围． 解　令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5，即ymin＝－5， 因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<－5即可． 所以所求m的取值范围是{m|m<－5}． 10．若“x<m”是“x>2或x<1”的充分条件，求m的取值范围． 解　记A＝{x|x>2或x<1}，B＝{x|x<m}， 由题意可得B⊆A，即{x|x<m}⊆{x|x>2或x<1}． 所以m≤1.故m的取值范围是{m|m≤1}． 11．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． 解　①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件． ②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a<0； 若方程有两个负的实根， 则需满足⇒0<a≤. 综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤.反之，若a≤，则方程至少有一个负的实根． 因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤. 学科网（北京）股份有限公司 $$