5.2 实际问题中的函数模型（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

1．在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示： x 1 2 3 … y 1 3 5 … 下面的函数关系式中，能表达这种关系的是(　　) A．y＝2x－1　　　　　　　 B．y＝x2－1 C．y＝2x－1　　　　　　　 D．y＝1.5x2－2.5x＋2 A　[由表格知，选项B，当x＝1时，y＝0≠1；选项C，当x＝3时，y＝7≠5；选项D，当x＝3时，y＝8≠5；选项A，将已知数据代入均满足．] 2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中，x表示拟录用人数，y表示面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用的人数为(　　) A．15　　　　　　　　 B．40 C．25　　　　　　　 D．130 C　[令y＝60，若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．故拟录用的人数为25.] 3．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系： 每间每天定价 200元 180元 160元 140元 住房率 65% 75% 85% 95% 要使收入每天达到最高，则每间应定价为(　　) A．200元　　　　　　　 B．180元 C．160元　　　　　　　 D．140元 C　[每天的收入在四种情况下分别为200×65%×100＝13 000(元)，180×75%×100＝13 500(元)，160×85%×100＝13 600(元)，140×95%×100＝13 300(元)．] 4．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图．为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为(　　) A．x＝15，y＝12　　　　　　　 B．x＝12，y＝15 C．x＝14，y＝10　　　　　　　 D．x＝10，y＝14 A　[由三角形相似得＝， 即x＝(24－y)， 所以S＝xy＝－(y－12)2＋180. 所以当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.] 5．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了______km. 9　[设出租车行驶x km时，付费y元， 则y＝ 由y＝22.6，解得x＝9.] 6．(多空题)某个病毒经30 min繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：h，y表示病毒个数)，则k＝______，经过5 h，1个病毒能繁殖为______个． 2ln 2　1 024　[当t＝0.5时，y＝2， ∴＝2.∴k＝2ln 2.∴y＝e2t ln 2. 当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.] 7．一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减． (1)求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式． (2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间称为半衰期).(已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，要求结果精确到0.1) 解　(1)最初的质量为500 g. 1年后，ω＝500(1－10%)＝500×0.91； 2年后，ω＝500×0.9(1－10%)＝500×0.92. 由此推知，t年后，ω＝500×0.9t. (2)解方程500×0.9t＝250，得0.9t＝0.5， 所以t＝＝≈6.6(年)， 即这种放射性元素的半衰期约为6.6年． 8．要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？ 解　设半圆的直径为x，矩形的高度为y，窗户的透光面积为S，则窗框总长l＝＋x＋2y， y＝，由y>0，得x∈(0，). S＝x2＋xy＝x2＋·x ＝－(x－)2＋， x∈(0，). 当x＝时，Smax＝， 此时，y＝＝. 答：窗户中的矩形高为，且半径等于矩形的高时，窗户的透光面积最大． 9．在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的实验：将一块质量为7 g的糖块放入一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在5 min末测得未溶解糖块的质量为3.5 g．小明发现可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k是常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：g)代表t min末未溶解糖块的质量． (1)求a的值． (2