第5章 §2 实际问题中的函数模型 2.1 实际问题的函数刻画2.2 用函数模型解决实际问题(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

**基本信息** 高中数学“实际问题中的函数模型”同步练，以“基础认知—综合应用—建模创新”分层设计，覆盖函数模型刻画与应用全路径，强化数学建模与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一函数模型认知|如球形容器液面高度（1题）、二次函数最值（2题），直接应用函数概念| |中档|函数模型综合应用|如分段函数（6题）、指数对数模型（4、5题），结合图表与实际情境分析| |提升|复杂情境建模|如圆柱蓄水池成本（13题）、矩形花坛扩建（16题），需抽象数学关系并求解|

§2　实际问题中的函数模型 2.1　实际问题的函数刻画 2.2　用函数模型解决实际问题 一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分) 1.现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体,下图中能表示在注入过程中容器的液面高度h与时间t的函数关系的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A B C D 2.我国的烟花名目繁多,其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为h(t)=-5t2+15t+20,那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面的高度约为 (　 ) A.26米 B.28米 C.31米 D.33米 3.[2023·福建宁德高一期中] 某学校对教室进行药熏消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(单位:毫克)与时间x(单位:分钟)成正比例关系,药物燃烧完后,y与x成反比例关系(如图).现测得药物15分钟燃烧完,此时室内每立方米空气中的含药量为12毫克.研究表明,当每立方米空气中的含药量不低于6毫克时才有效,则此次消毒的有效时间是 (　 ) A.15分钟 B.17.5分钟 C.18分钟 D.22.5分钟 4.如图所示是某种豆类的生长枝数y与时间t(单位:月)的散点图,那么此种豆类的生长枝数y与时间t的关系用下列函数模型近似刻画最好的是 (　 ) A.y=2t2 B.y=log2t C.y=t3 D.y=2t 5.[2023·陕西榆林十中高一期末] 某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物引入一年时的数量为180只,则引入15年时的数量为 (　 ) A.300只 B.400只 C.600只 D.720只 6.某公司销售一种饲料,优惠政策如下: (1)若购买饲料不超过2000元,则不给予优惠; (2)若购买饲料超过2000元但不超过5000元,则按标价给予9折优惠; (3)若购买饲料超过5000元,则5000元及5000元以内的部分给予9折优惠,超过5000元的部分给予7折优惠. 某顾客购买一批饲料,有如下两种方案: 方案一:分两次付款购买,分别付款2880元和4850元; 方案二:一次性付款购买. 若用方案二购买此批饲料,则比方案一节省(　 ) A.540元 B.620元 C.640元 D.800元 7.[2023·江西奉新四中高一月考] 当强度为x的声音对应的等级为f(x)分贝时,有f(x)=10lg(其中A0为常数),某挖掘机的声音约为90分贝,普通室内谈话的声音约为50分贝,则该挖掘机的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为 (　 ) A.e4 B.104 C. D.1 8.(多选题)某种商品的单价为50元时,每月可销售此种商品300件,若将单价降低x(x∈N*)元,则月销售量增加10x件,要使此种商品的月销售额不低于15 950元,则x的取值可以为 (　 ) A.9 B.7 C.13 D.11 9.(多选题)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系:y=ekx+b(k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则下列说法中正确的是 (　 ) A.k>0 B.储存温度越高保鲜时间越长 C.该食品在11 ℃的保鲜时间是96小时 D.该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 10.科学研究发现,大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数m与其游动速度v(单位:m/s)的关系式为m=k·9v(k>0且k为常数).当这种鲑鱼的游动速度为2m/s时,其耗氧量为8100个单位,若这种鲑鱼的游动速度不小于1.5m/s,则其耗氧量至少为　　　　个单位.  11.[2023·山东聊城一中高一期中] 某种物资实行阶梯价格制度,具体见表: 阶梯 年用量(千克) 价格(元/千克) 第一阶梯 不超过10的部分 6 第二阶梯 超过10而不超过20的部分 8 第三阶梯 超过20的部分 10 若某户居民使用该物资的年花费为220元,则该户居民的年用量为　　　　千克.  12.某校学生在研究折纸实验中发现,当对折后纸张达到一定的厚度时,便不能继续对折了,在理想情况下,对折次数n与纸的长边长ω(单位:cm)和厚度x(单位:cm)的关系式为n≤log2.现有一张长边长为30 cm,厚度为0.05 cm的矩形纸,根据以上信息,当对折完4次时,的最小值为　　　　;该矩形纸最多能对折　　　　次.(本题参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48)  三、解答题(本大题共2小题,共20分) 13.(10分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域. 14.(10分)[2023·山西阳泉三中高一月考] 某公司生产某种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知月总收入R(单位:元)关于月产量x(单位:台)的函数关系式为R(x)= (1)将月利润P(单位:元)表示为月产量x的函数. (2)当月产量为少台时,公司所获月利润最大?最大月利润为多少元?(总收入=总成本+利润) 15.(5分)如图,正方形ABCD的边长为2,动点E从A开始沿A→B→C的方向以2个单位长度/秒的速度运动到C点停止,同时动点F从点C开始沿CD边以1个单位长度/秒的速度运动到D点停止,则△AEF的面积y与运动时间x(单位:秒)之间的函数图象大致是 (　 ) A B C D 16.(15分)[2023·陕西师大附中高一期中] 如图所示,将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求M在射线AB上,N在射线AD上,且对角线MN过点C.已知AB=6米,AD=4米,设AN的长为x米,且要求AM的长不少于9米. (1)设矩形花坛AMPN的面积为y平方米,试求函数y=f(x)的解析式及其定义域; (2)求当AN的长度是多少时,矩形花坛AMPN的面积最小,并求出最小面积. 17.(15分)某中学筹办100年校庆活动,需为参加校庆的校友、嘉宾每人准备一份纪念品,共需要准备5000份纪念品,每份纪念品包含一支钢笔和一个保温杯,现需要将钢笔和保温杯装入精品礼盒.校庆筹备小组负责此项工作的共有7人,现将其分成两组,一组完成钢笔的装盒工作,另一组完成保温杯的装盒工作,据测算,6人一天可完成1000支钢笔的装盒工作,5人一天可完成1000个保温杯的装盒工作. (1)若安排3人完成钢笔的装盒工作,则纪念品装盒工作的工期为多久? (2)如何安排两组的人数,才能使工期最短? 学科网（北京）股份有限公司 $ §2　实际问题中的函数模型 2.1　实际问题的函数刻画 2.2　用函数模型解决实际问题 1.C　[解析] 由球形容器的几何特征知,液面上升的速度先快后慢再变快.故选C. 2.C　[解析] h(t)=-5t2+15t+20=-5+,则当t=时,h(t)取得最大值,最大值为h=≈31.故选C. 3.D　[解析] 设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k1x(k1>0),则由题可得12=15k1,∴k1=.设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=(k2>0),则由题可得12=,∴k2=180.∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=x(0≤x≤15),药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=(x>15).把y=6代入y=x(0≤x≤15),得x=7.5,把y=6代入y=(x>15),得x=30.∵30-7.5=22.5,∴此次消毒的有效时间是22.5分钟,故选D. 4.D　[解析] 观察各散点的坐标及各选项,可知y=2t最合适.故选D. 5.D　[解析] 因为该动物的繁殖数量y与引入时间x的关系为y=alog2(x+1),当x=1时,y=180,所以180=alog2(1+1),得a=180,所以y=180·log2(x+1).当x=15时,y=180·log2(15+1)=180×4=720,所以引入15年时的数量为720只.故选D. 6.C　[解析] 依题意可得,方案一:第一次付款2880元时,因为4500>2880>2000,所以此次付款享受了9折优惠,则其原价为=3200(元);第二次付款4850元时,因为4850>4500,所以其原价为+5000=5500(元),所以分两次购买饲料的原价为3200+5500=8700(元).方案二:若一次性付款,则应付款为(8700-5000)×0.7+5000×0.9=7090(元).所以方案二比方案一节省(2880+4850)-7090=640(元).故选C. 7.B　[解析] 设该挖掘机的声音强度为x1,普通室内谈话的声音强度为x2,则由题意知所以10=10lg=90-50=40,则lg=4,所以=104,故选B. 8.AD　[解析] 设此种商品的月销售额为f(x),由题意知,单价为50-x,销售量为300+10x,所以销售额f(x)=(50-x)(300+10x)=-10x2+200x+15 000.要使月销售额不低于15 950元,需满足-10x2+200x+15 000≥15 950,整理得x2-20x+95≤0,解得10-≤x≤10+,则不等式的解集为{x|10-≤x≤10+},记该集合为M,易知7,13∈/ M,9,11∈/M,故选AD. 9.CD　[解析] ∵该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,∴得e22k==,∴e11k=,∴k<0,则储存温度越高保鲜时间越短,该食品在11 ℃的保鲜时间是e11k+b=e11k·eb=×192=96(小时),该食品在33 ℃的保鲜时间为e33k+b=(e11k)3·eb=×192=24(小时),故选CD. 10.2700　[解析] 由题可知8100=k·92,解得k=100.则当v≥1.5时,m≥100×91.5=2700. 11.28　[解析] 因为10×6=60,(20-10)×8=80,60+80=140<220,所以该户居民的年用量超过20千克.设该户居民的年用量为x千克,则140+(x-20)×10=220,解得x=28,故该户居民的年用量为28千克. 12.64　6　[解析] ∵n≤log2,∴当对折完4次时,log2≥4,即log2≥6,∴≥64,∴的最小值为64.∵n≤log2=log2600=×=×≈×≈6.18,∴该矩形纸最多能对折6次. 13.解:因为蓄水池侧面的总建造成本为100×2πrh=200πrh(元),底面的总建造成本为160πr2元,所以蓄水池的总建造成本为(200πrh+160πr2)元. 根据题意得200πrh+160πr2=12 000π,所以h=(300-4r2),从而V(r)=πr2h=(300r-4r3). 由h>0,r>0,可得0<r<5,故函数V(r)的定义域为(0,5). 14.解:(1)当0≤x≤400时,P(x)=400x-x2-100x-20 000=-x2+300x-20 000, 当x>400时,P(x)=80 000-100x-20 000=-100x+60 000, 故P(x)= (2)当0≤x≤400时,P(x)=-(x-300)2+25 000, 故当x=300时,P(x)取得最大值,最大值为25 000; 当x>400时,P(x)=-100x+60 000,易知P(x)在(400,+∞)上单调递减, 故P(x)<-100×400+60 000=20 000. 综上,当月产量为300台时,公司所获月利润最大,最大月利润为25 000元. 15.A　[解析] 当点E在边AB上时,AE=2x(0≤x≤1),y=×2x×2=2x;当点E在边BC上时,BE=2(x-1)(1<x≤2),y=22-×2×2(x-1)-[2-2(x-1)]×x-×2×(2-x)=x2-3x+4=+.观察各选项中图象,只有A符合.故选A. 16.解:(1)因为四边形ABCD是矩形,且对角线MN过点C,所以=,所以AM=,所以y=AN·AM=. 由得4<x≤12. 所以y=,定义域为(4,12]. (2)令t=x-4(0<t≤8),则x=t+4,所以y==6≥6=96,当且仅当t=,即t=4时,等号成立,此时x=8, 所以当AN=8米时,矩形花坛AMPN的面积最小,最小面积为96平方米. 17.解:(1)若安排3人完成钢笔的装盒工作,则完成钢笔的装盒工作需要=10(天),完成保温杯的装盒工作需要=(天),因为<10,所以纪念品装盒工作的工期为10天. (2)设安排x人完成钢笔的装盒工作,则完成钢笔的装盒工作需要f(x)==(天),完成保温杯的装盒工作需要g(x)==(天),其中x∈{1,2,3,4,5,6}. 因为随着x的增大,f(x)是递减的,g(x)是递增的, 所以纪念品装盒工作的工期(单位:天)为T(x)= 由=,得x=, 从而T(x)= 计算可得T(3)=10,T(4)=,且T(4)<T(3), 所以安排4人完成钢笔的装盒工作,3人完成保温杯的装盒工作,可以使工期最短. 学科网（北京）股份有限公司 $