5.1.2 利用二分法求方程的近似解（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

1．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内的近似解的过程中，计算得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间(　　) A．(1，1.25)　　　　　　　 B．(1.25，1.5) C．(1.5，2)　　　　　　　 D．不能确定 B　[∵f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0， ∴f(1.25)·f(1.5)<0. ∴方程的根落在区间(1.25，1.5)上．] 2．已知用二分法求函数f(x)在定义域内的近似零点的过程如下：f(2 021)<0，f(2 023)>0，f(2 022)<0，则下列叙述正确的是(　　) A.函数f(x)在区间(2 022，2 023)内不存在零点 B．函数f(x)在区间(2 021，2 022)内不存在零点 C．函数f(x)在区间(2 022，2 023)内存在零点，并且仅有一个 D．函数f(x)在区间(2 021，2 022)内可能存在零点 D　[f(2 021)·f(2 022)>0，只能说在区间(2 021，2 022)内可能存在零点，也可能不存在零点．f(2 022)·f(2 023)<0，说明在区间(2 022，2 023)内至少有一个零点，但不能说是唯一的．] 3．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下： f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067 f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 2)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060 据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01)为(　　) A．1.55　　　　　　　 B．1.56 C．1.57　　　　　　　 D．1.58 B　[由参考数据知f(1.562 5)≈0.003＞0，f(1.556 2)≈－0.029＜0，即f(1.562 5)·f(1.556 2)＜0， ∴f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01)为1.56.] 4．已知f(x)＝－ln x在区间(1，2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值(精确度为0.2)，则至少需要将区间等分的次数为(　　) A．3　　　　　　　 B．4 C．5　　　　　　　 D．6 A　[由用二分法求函数零点近似值的步骤可知，分一次，f()>0，区间长度＝0.5>0.2；分二次，f()>0，区间长度＝0.25>0.2；分三次，f()<0，区间长度＝<0.2.所以至少分三次可以使x0的近似值达到精确度为0.2.] 5．函数f(x)＝的零点个数是(　　) A．0　　　　　　　 B．1 C．2　　　　　　　 D．3 C　[方法一　方程x＋2＝0(x<0)的根为x＝－2，方程x2－1＝0(x>0)的根为x＝1，所以函数f(x)有2个零点：－2与1. 方法二　画出函数f(x)＝的图象，如下图所示． 观察图象可知，f(x)的图象与x轴有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．] 6．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，3)内的实数根，取区间中点为x0＝2.5，那么它一个有根的区间是______________． (2，2.5)　[令f(x)＝x3－2x－5，得f(2)＝8－4－5＝－1<0，f(2.5)＝x(x2－2)－5＝2.5×4.25－5>0，f(2)·f(2.5)<0，故方程的根在区间(2，2.5)内．] 7．用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点．(精确度为0.1) 解　∵f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0， ∴f(x)在区间[1，1.5]上存在零点，取区间[1，1.5]作为计算的初始区间． 用二分法逐次计算，列表如下： 端(中)点 中点函数值符号 零点所在区间 区间长度 [1，1.5] 0.5 1.25 f(1.25)＜0 [1.25，1.5] 0.25 1.375 f(1.375)＞0 [1.25，1.375] 0.125 1.312 5 f(1.312 5)＜0 [1.312 5，1.375] 0.062 5 ∵|1.375－1.312 5|＝0.062 5<0.1， ∴函数的零点落在区间长度小于0.1的区间[1.312 5，1.375]内． 故函数零点的近似值可以为1.312 5. 8．如果一个正方体的体积在数值上等于V，表面积在数值上等于S，且V＝S＋1，那么这个正方体的棱长(精确到0.01)约为________． 6．03　[设正方体的棱长为x， 则V＝x3，S＝6x2. ∵V＝S＋1，∴x3＝6x2＋1. 设f(x)＝