5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点的个数为(　　) A．0　　　　　　　 B．1 C．2　　　　　　　 D．3 D　[由得x＝0， 由得x＝， ∴函数f(x)的零点的个数为3.] 2．若函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x)为偶函数，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有(　　) A．一个　　　　　　　 B．两个 C．至少两个　　　　　　　 D．无法判断 B　[依据给出的函数性质，易知f(－2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如下图． 由图象可知f(x)有两个零点．] 3．函数f(x)＝2x＋x的零点所在的区间是(　　) A．(－2，－1)　　　　　　　 B．(－1，0) C．(0，1)　　　　　　　 D．(1，2) B　[记f(x)＝2x＋x，则f(－2)＝2－2＋(－2)＝－<0，f(－1)＝2－1＋(－1)＝－<0，f(0)＝20＋0＝1>0.所以零点所在的区间为(－1，0).] 4．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是(　　) A．a<α<b<β　　　　　　　 B．a<α<β<b C．α<a<b<β　　　　　　　 D．α<a<β<b C　[因为α，β是函数f(x)的两个零点， 所以f(α)＝f(β)＝0. 又f(a)＝f(b)＝－2<0，结合二次函数的大致图象(如图所示)， 可知a，b必在α，β之间．] 5．函数y＝x3与y＝()x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间为(　　) A．(－2，－1)　　　　　　　 B．(－1，0) C．(0，1)　　　　　　　 D．(1，2) C　[设f(x)＝x3－()x，显然f(x)为单调递增函数， 又f(0)＝－1＜0，f(1)＝＞0， ∴f(x)的零点在(0，1)内． 又y＝x3与y＝()x的图象的交点为(x0，y0)， ∴x0∈(0，1).] 6．(多选题)有下列说法：①对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在区间(a，b)内没有零点；②函数f(x)＝2x－x2有两个零点；③若奇函数、偶函数有零点，则其和为0；④当a＝1时，函数f(x)＝|x2－2x|－a有三个零点．其中正确的有(　　) A．①　　　　　　　 B．② C．③　　　　　　　 D．④ CD　[①错，如下图． ②错，应有三个零点．③对，奇、偶函数图象与x轴的交点关于原点对称，故零点之和为0.④对，设u(x)＝|x2－2x|＝|(x－1)2－1|，其大致图象如下图所示． 将u(x)的图象向下平移1个单位长度，顶点与x轴相切，图象与x轴有三个交点． ∴当a＝1时，函数f(x)有三个零点．] 7．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是____________． (1，＋∞)　[函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a的图象(如下图)交点的个数． 由函数的图象可知，a>1时两个函数图象有两个交点，0<a<1时两个函数图象有唯一交点，故a>1.] 8．若函数f(x)＝ax2－x－1的负零点有且仅有一个，则实数a的取值范围是________________________． {－}∪[0，＋∞)　[当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0，得x＝－1，符合题意； 当a＞0时，此函数图象开口向上，又f(0)＝－1＜0，结合二次函数图象知符合题意； 当a＜0时，此函数图象开口向下，又f(0)＝－1＜0， 从而有即a＝－. 综上，实数a的取值范围是{－}∪[0，＋∞).] 9．(多空题)函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1)的定义域是________，零点是____________． (－3，1)　－1±　[为使函数有意义， 只需解得－3<x<1， 所以函数的定义域为(－3，1). 函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]＝loga(－x2－2x＋3). 由f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1， 即x2＋2x－2＝0，解得x＝－1±. 因为－1±∈(－3，1)， 所以f(x)的零点是－1±.] 10．求证：函数f(x)＝ln x＋4x－5在(0，＋∞) 内仅有一个零点． 证明　任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1>x2， 则f(x1)－f(x2)＝(ln x1＋4x1－5)－(ln x2＋4x2－5) ＝ln x1－ln x2＋4x1－4x2＝ln ＋4(x1－x2). 因为x1>x2>0，所以>1. 所以ln >0，4(x1－x2)>0. 所以f(x1)－f(x2)>0. 所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数． 又f(1)＝0＋4－5＝－1<0，