4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

1．若－1<x<0，则不等式成立的是(　　) A．5－x<5x<0.5x　　　　　　　 B．5x<0.5x<5－x C．5x<5－x<0.5x　　　　　　　 D．0.5x<5－x<5x B　[在同一平面直角坐标系内作出y＝5x，y＝0.2x，y＝0.5x的图象，当－1<x<0时，观察图象知5x＜0.5x＜0.2x，即5x<0.5x<5－x.] 2．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，则当x∈R时(　　) A．f(x)>g(x)　　　　　　　 B．g(x)>f(x) C．f(x)≥g(x)　　　　　　　 D．g(x)≥f(x) A 　[在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象，如下图所示． 由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x的图象的上方，所以f(x)>g(x).] 3．下图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　　) A．指数函数y＝2t B．对数函数y＝log2t C．幂函数y＝t3 D．二次函数y＝2t2 A　[由题中图象可知，该函数模型为指数函数．] 4．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如下图所示，则能选择的模拟函数模型是(　　) A．y＝ax＋b　　　　　　　 B．y＝ax2＋bx＋c C．y＝a·ex＋b　　　　　　　 D．y＝a ln x＋b B　[由散点图和四个函数的特征可知，能选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.] 5．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则y与x的函数关系为(　　) A　[由题意易得质量为1的镭经过x年后剩留量y＝.] 6．若a>1，n>0，则当x足够大时，ax，xn，logax中最大的是________． ax　[由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知ax>xn>logax.] 7．某地发生地震后，地震专家对该地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表： 强度/J 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019 震级/里氏 5.0 5.2 5.3 5.4 注：地震强度是指地震时释放的能量． 地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝a lg x＋b(其中a，b为常数)，利用散点图可知a的值为________．(取lg 2≈0.3进行计算) 　[由模拟函数及散点图得两式相减得a(lg 3.2－lg 1.6)＝0.2，则a lg 2＝0.2，解得a≈.] 8.右图所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(月)的近似函数关系y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象. 有下列说法：①第4个月时，残留量就会低于；②每月减少的有害物质量都相等；③若残留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.其中所有正确说法的序号是____________． ①③　[根据题意，函数的图象经过点(2，)，故函数为y＝()t. 易知①③正确．] 9．国庆黄金周及其前后是旅游旺季．某宾馆通过对9月26日至10月15日这20天的调查，得到部分日经济收入Q与这20天中的第t天(t∈N＋)的部分数据如下表： 天数t 1 3 8 12 15 日经济收入Q/万元 218 248 288 284 260 (1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最恰当的函数描述Q与t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝－t2＋at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt，并求出该函数的解析式． (2)利用你选择的函数，确定日经济收入最高的是第几天，并求出最高日经济收入． 解　(1)由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入Q与天数t的变化关系的函数不可能为单调函数，而Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以选取二次函数进行描述最恰当． 将(1，218)，(8，288)代入Q＝－t2＋at＋b， 可解得a＝19，b＝200. 所以Q＝－t2＋19t＋200(1≤t≤20，t∈N＋). (2)Q＝－t2＋19t＋200，因为1≤t≤20，t∈N＋，所以t＝9或10时，Q取得最大值290万元． 10．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(2，＋∞)时，下列选项正确的是(　　) A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x) C．当x∈(2，4)时，g(x)＞f(x)＞h(x)；当x∈(4，＋∞)时，f(x)＞g(x)＞h(x) D．当x∈(2，4)时，f(x)＞g(x)＞h(x)；当x∈(4，＋∞)时，g