4.3.2 对数函数y=log2x的图象和性质（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

1．设P＝2log23，Q＝log23，R＝log25，则(　　) A．R<Q<P　　　　　　　 B．P<R<Q C．Q<R<P　　　　　　　 D．R<P<Q C　[∵y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，P＝2log23＝log29，Q＝log23，R＝log25，0＜3＜5＜9，∴log23＜log25＜log29，即Q＜R＜P.] 2．函数y＝1＋log2x(x≥4)的值域是(　　) A．[2，＋∞)　　　　　　　 B．(3，＋∞) C．[3，＋∞)　　　　　　　 D．(－∞，＋∞) C　[∵x≥4，∴log2x≥2，即y≥3.∴函数y＝1＋log2x(x≥4)的值域是[3，＋∞).] 3．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　) A．a<b<c　　　　　　　 B．a<c<b C．c<a<b　　　　　　　 D．b<c<a B 　[a＝log20.2<log21＝0，b＝20.2>20＝1，c＝0.20.3<0.20＝1，又0.20.3>0，∴0<c<1.∴a<c<b.] 4．函数f(x)＝的图象与函数g(x)＝log2x图象的交点个数是(　　) A．1　　　　　　　 B．2 C．3　　　　　　　 D．4 C　[在同一平面直角坐标系中画出f(x)和g(x) 的图象，如下图， 由图象可知f(x)与g(x)的交点个数为3.] 5．若集合M＝{y|y＝2x，x<－1}，P＝{y|y＝log2x，x≥1}，则M∩P＝(　　) A． B．{y|0<y<1} C． D． A　[指数函数y＝2x在x<－1上的值域为(0，)， 即M＝， 对数函数y＝log2x在x≥1上的值域为[0，＋∞)， 即P＝{y|y≥0}，所以M∩P＝.] 6．已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________． －7　[由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7．] 7．函数f(x)＝log2[log2(log2x)]的定义域为__________． {x|x>2}　[根据对数函数的定义域列出关于x的不等式． 由f(x)＝log2[log2(log2x)]知log2(log2x)>0，即log2x>1，∴x>2. ∴函数f(x)的定义域是{x|x>2}．] 8．已知y＝log2(ax＋1)(a≠0)的定义域为(－∞，1)，则a的值是________． －1　[∵f(x)的定义域为(－∞，1)， ∴ax＋1>0的解集为(－∞，1). ∴x＝1是方程ax＋1＝0的根． ∴a＋1＝0，即a＝－1.] 9．已知1≤x≤4，求函数f(x)＝log2·log2的最大值与最小值． 解　f(x)＝log2·log2 ＝(log2x－2)(log2x－1) ＝(log2x－)2－， ∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2.∴当log2x＝， 即x＝2＝2时，f(x)有最小值－； 当log2x＝0时，f(x)有最大值2，此时x＝1. ∴函数f(x)的最大值是2，最小值是－. 10．函数y＝|log2x|的图象是图中的(　　) A　[有关函数图象的变换是考试的一个热点．本题目的图象变换是翻折变换，可知这个函数的图象是由y＝log2x的图象沿x轴向上翻折而得到的．] 11．函数f(x)＝log2(－x2＋2)的值域为______________. (－∞， ]　[因为0<－x2＋2≤2，所以x＝0时，f(x)最大，f(x)max＝f(0)＝log22＝.] 12．已知函数y＝f(x)的定义域为[－1，1]，则y＝f(log2x)的定义域是______________． 　[由－1≤log2x≤1可得≤x≤2， 所以y＝f(log2x)的定义域为.] 13．函数f(x)＝log2x在区间[a，2a](a>0)上的最大值与最小值之差为________. 1　[∵f(x)＝log2x在区间[a，2a]上单调递增， ∴f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a)＝log22a－log2a＝1.] 14．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，g(x)＝log2(3x＋1). (1)求出使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围； (2)当x∈[0，＋∞)时，求函数y＝g(x)－f(x)的值域． 解　(1)因为f(x)＝log2(x＋1)， g(x)＝log2(3x＋1)，g(x)≥f(x)， 所以3x＋1≥x＋1>0.所以x≥0. 即使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围为[0，＋∞). (2)y＝g(x)－f(x)＝log2(3x＋1)－log2(x＋1) ＝log2(x≥0). 令h(x)＝＝3－， 则h(x)为[0，＋∞)上的增函数． 故1≤h(x)<3. 所以y＝g(x)－f(x)∈[0，log2