3.3 第2课时 指数函数的图象和性质及其应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

1．设x>0，且ax<bx<1(a>0，b>0)，则a与b的大小关系是(　　) A．b<a<1　　　　　　　　 B．a<b<1 C．1<b<a　　　　　　　 D．1<a<b B　[取x＝1，则a<b<1.] 2．某产品计划每年降低成本q%, 若3年后的成本费为a元，则现在的成本费为(　　) A． 元 B．a(1－q%)3元 C． 元 D．a(1＋q%)3元 A　[设现在的成本费为x，则3年后的成本费为x(1－q%)3＝a⇒x＝.] 3．定义运算：a⊗b＝则函数f(x)＝1⊗2x的图象大致为(　　) A　[由题意，得f(x)＝1⊗2x＝ ] 4．设f(x)＝()|x|，x∈R，则f(x)是(　　) A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数 D　[依题意，得f(－x)＝()|－x|＝()|x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数． 当x＞0时，f(x)＝()|x|＝()x，函数f(x)单调递减. ] 5．若0<x<1，则2x，()x，0.2x之间的大小关系是(　　) A．2x<0.2x<()x B．2x<()x<0.2x C．()x<0.2x<2x D．0.2x<()x<2x D　[由指数函数性质可知，当0<x<1时，2x>20＝1，()x<()0＝1.当0<x<1时，y＝0.2x在y＝()x图象的下方，故0.2x<()x<2x.] 6．(多选题)已知实数a，b满足等式()a＝()b，给出下列关系式中成立的是(　　) A．0<b<a　　　　　　　 B．a＜b＜0 C．0＜a＜b　　　　　　　 D．a＝b ABD　[作y＝()x与y＝()x的图象． 当a＝b＝0时，()a＝()b＝1； 当a<b<0时，可以使()a＝()b； 当a>b>0时，也可以使()a＝()b. 故选项A，B，D成立，不可能成立的关系式是选项C.] 7．在某段时间内，一个池塘中每天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，且荷叶20天可以完全长满池塘水面．当荷叶覆盖水面面积的一半时，荷叶已生长了________天． 19　[荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数解析式为y＝2x.当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶覆盖水面面积的一半．] 8．(多空题)函数y＝ax－1＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________；y＝a2x＋b＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1，2)，则b＝________． (1，4)　－2　 [在y＝ax－1＋3中，令x－1＝0得x＝1，y＝4， ∴y＝ax－1＋3恒过定点(1，4). ∵y＝a2x＋b＋1恒过定点(1，2)， ∴2＋b＝0，解得b＝－2.] 9．函数f(x)＝＋2，若f(a)＋f(a－2)＞4，则a的取值范围是________． (1, ＋∞)　[设F(x)＝f(x)－2，则F(x)＝.易知F(x)是奇函数，F(x)＝＝＝1－在R上是增函数．由f(a)＋f(a－2)＞4得F(a)＋F(a－2)＞0，于是可得F(a)＞F(2－a).即a＞2－a，解得a＞1.] 10．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点(2，)，其中a>0且a≠1. (1)求a的值． (2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域． 解　(1)因为函数图象过点(2，)， 所以a2－1＝，则a＝. (2)由(1)知f(x)＝()x－1(x≥0)，由x≥0得x－1≥－1，于是0<()x－1≤()－1＝2. 所以函数的值域为(0，2]. 11．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24). (1)试确定f(x)的解析式． (2)若不等式()x＋()x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围． 解　(1)因为f(x)＝b·ax的图象过点A(1，6)，B(3，24)， 所以　 ②÷①得a2＝4， 又a>0，且a≠1，所以a＝2，b＝3. 所以f(x)＝3×2x. (2)由(1)知()x＋()x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，可转化为m≤()x＋()x在(－∞，1]上恒成立． 令g(x)＝()x＋()x， 则g(x)在(－∞，1]上单调递减， 所以m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝. 故实数m的取值范围是(－∞，]. 12．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)＜－的解集是________． (－∞，－1)　[∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0. 当x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1. 由2x－1＜－，2x＜2－1，得x＜－1. 当x＞0时，由1－2－x＜－，()x＞，得x∈∅. 当