2.4 第1课时 函数的奇偶性与简单幂函数（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

1．函数f(x)＝x3＋的图象关于(　　) A．原点对称　　　　　　　 B．y轴对称 C．y＝x对称　　　　　　　 D．y＝－x对称 A　[由于f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称．] 2．(2021·全国乙卷理) 设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1　　　　　　　 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1　　　　　　　 D．f(x＋1)＋1 B　[由题意可得f(x)＝＝－1＋， 对于选项A，f(x－1)－1＝－2不是奇函数； 对于选项B，f(x－1)＋1＝是奇函数； 对于选项C，f(x＋1)－1＝－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于选项D，f(x＋1)＋1＝，定义域不关于原点对称，不是奇函数．] 3．(多选题)幂函数f(x)＝xm是偶函数，在x∈(0，＋∞)上为增函数，则m的值可以为(　　) A．－1　　　　　　　 B．2 C．4　　　　　　　 D．－1或2 BC　[因为幂函数f(x)＝xm是偶函数，在x∈(0，＋∞)为增函数，所以m是正偶数．所以m的值可能是2或4.] 4.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为(　　) A．－2　　　　　　　 B．2 C．1　　　　　　　 D．0 A　[由图知f(1)＝，f(2)＝，又f(x)为奇函数，所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－－＝－2.] 5．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实数根之和是(　　) A．4　　　　　　　 B．2 C．1　　　　　　　 D．0 D　[根据偶函数图象关于y轴对称知，四个交点的横坐标是两对互为相反数的数，因此它们的和为0.] 6．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________． 4　[因为f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a为偶函数，所以a－4＝0，a＝4.] 7．幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“<”连接起来结果是____________． n<q<m<p　[∵y＝xm，y＝xp，y＝xq过原点，而y＝xn不过原点，∴p>0，m>0，q>0，n<0.又x>1时，xp＞xm＞xn，∴p>m>q.∴n<q<m<p.] 8．(多空题)f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(x)＝________；g(x)＝________． x2－2　x　[f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2， 由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， 得f(x)－g(x)＝x2－x－2. 又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2， 两式联立得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.] 9．讨论函数y＝x的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出函数图象的草图． 解　 ∵y＝x＝≥0， ∴函数y＝f(x)的定义域为R，值域为[0，＋∞). ∵f(－x)＝(－x)＝＝＝x＝f(x)， ∴f(x)是偶函数． ∵＞0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增． 又f(x)是偶函数，∴f(x)在(－∞，0]上单调递减． 根据以上性质可画出函数y＝x图象的草图如图所示． 10．已知函数f(x)＝x－的图象经过点(2，1). (1)求a的值． (2)判断f(x)的奇偶性． 解　(1)因为函数f(x)＝x－的图象经过点(2，1)，所以f(2)＝1，即2－＝1.解得a＝2. (2)由(1)知f(x)＝x－，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又f(－x)＝－x－＝－x＋＝－(x－)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数． 11．(多选题)f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，正确的是(　　) A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝－2f(x) C．f(－x)·f(x)≤0 D．＝－1 ABC　[∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)①.∴选项A，B，C正确． ∵f(－x)可能为0，∴由①不能推出选项D．] 12．(多选题)若一个函数f(x)在其定义域内对任意x，y都满足f()≤[f(x)＋f(y)]，则称这个函数为下凸函数．下列函数是下凸函数的为(　　) A．f(x)＝2x B．f(x)＝x3 C．f(x)＝log2x(x＞0) D. f(x)＝ AD　[本题既可用定义来判断，也可由函数的图象直接求解，得选项A，D满足定义．] 13．若(3－2m)＞(m＋1)，则实数m的取值范围为________． [－1，)　[因为y＝x在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以解得－1≤m＜.故m的取值范围是[－1，).] 14．(多空题)已知幂函数f(x)＝ (m∈Z)为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，