2.3 第2课时 函数单调性的证明及应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是(　　) A．y＝　　　　　　 B．y＝2x－1 C．y＝－|x|　　　　　　　 D．y＝x2－3x B　[选项A中函数在区间(0，＋∞)上是减函数；选项B中函数在区间(0，＋∞)上是增函数；选项C中函数在区间(0，＋∞)上是减函数；选项D中函数图象的对称轴是直线x＝，所以函数在(0，)上为减函数，在[，＋∞)上为增函数．] 2．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上(　　) A．单调递增　　　　　　　 B．单调递减 C．先增后减　　　　　　　 D．先减后增 B　[由于函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上均为减函数，所以a<0，b<0.所以二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象开口向下，且对称轴为直线x＝－<0.所以函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上单调递减．] 3．函数f(x)＝9－ax2(a＞0)在[0，3]上的最大值为(　　) A．9　　　　　　　 B．9(1－a) C．9－a　　　　　　　 D．9－a2 A　[∵a＞0，∴f(x)＝9－ax2(a＞0)的图象开口向下，以y轴为对称轴．∴f(x)＝9－ax2(a＞0)在[0，3]上单调递减．∴当x＝0时，f(x)有最大值，为9.] 4．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则(　　) A．f(3)<f(2)<f(1)　　　　　　　 B．f(1)<f(2)<f(3) C．f(2)<f(1)<f(3)　　　　　　　 D．f(3)<f(1)<f(2) A　[对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，故f(x)在R上是减函数．又3>2>1，所以f(3)<f(2)<f(1).] 5．(多选题)函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则a的取值可以是(　　) A．－2　　　　　　　 B．－1 C．0　　　　　　　 D．1 ABC　 [因为f(x)＝(x－a)2－a2＋a，所以函数图象的对称轴为直线x＝a.若a≥1，则函数在区间(－∞，1)上是减函数．因为是开区间，所以没有最小值．所以a<1.此时当x＝a时取得最小值．所以a∈(－∞，1).] 6．已知函数f(x)＝(k≠0)在区间(0，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是________． (－∞，0)　[函数f(x)是反比例函数，若k>0，则函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数；若k<0，则函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数．所以k<0.] 7．(多空题)函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a<b<3)上有最大值9，最小值－7.则a＝______，b＝______． －2　0　[∵y＝－x2＋6x＋9图象的对称轴为直线x＝3，a<b<3， ∴函数在[a，b]上单调递增． ∴ 解得或 又∵a<b<3，∴] 8．(多空题)设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是______________，f(a2＋a－1)与f(－)的大小关系是__________． (0，＋∞)　f(a2＋a－1)≤f(－)　[因为f(m－1)>f(2m－1)且f(x)是R上的减函数，所以m－1<2m－1.所以m>0. 又因为a2＋a－1＝(a＋)2－≥－， 所以f(a2＋a－1)≤f(－).] 9．证明：函数f(x)＝x2－在区间(0，＋∞)上是增函数． 证明　任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x－－x＋ ＝(x1－x2)(x1＋x2＋). ∵0<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋x2＋>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). ∴函数f(x)＝x2－在区间(0，＋∞)上是增函数． 10．已知函数f(x)＝，x∈[3，5]. (1)判断函数f(x)的单调性． (2)求函数f(x)的最大值和最小值． 解　(1)任取x1，x2∈[3，5]，x1<x2， 则f(x1)－f(x2) ＝－ ＝ ＝ ＝. ∵x1，x2∈[3，5]，x1<x2， ∴x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0. ∴f(x1)－f(x2)<0. ∴f(x1)<f(x2). ∴函数f(x)＝在[3，5]上为增函数． (2)由(1)知， 当x＝3时，函数f(x)取得最小值，为f(3)＝； 当x＝5时，函数f(x)取得最大值，为f(5)＝. 11．已知函数f(x)＝x2＋ax＋4，若对任意的x∈(0，2]，f(x)≤6恒成立，则实数a的最大值为(　　) A．－1　　　　　　　 B．1 C．－2　　　　　　　 D．2 A　[原问题可转化为a≤＝－x对任意的x∈(0