1.3.2 第2课时 基本不等式的应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝＋，则＋的最小值为(　　) A．4　　　　　　　 B．2 C．8　　　　　　　 D．16 B　[由a＋b＝＋＝，得ab＝1，则＋≥2 ＝2，当且仅当＝时，等号成立．] 2．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　) A．3　　　　　　　 B．4 C．　　　　　　　 D． B　[由题意知，x＋2y＝8－x·2y≥8－()2， 整理得(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，解得x＋2y≥4或x＋2y≤－8.又x＋2y＞0，所以x＋2y≥4.] 3．已知a>0，b>0，且(a＋1)(b＋1)＝2，则a＋b的最小值为(　　) A．1－　　　　　　　 B．2－ C．－1　　　　　　　 D．2－2 D　[因为a>0，b>0，且(a＋1)(b＋1)＝2， 所以a＋b＝a＋1＋b＋1－2≥2－2＝2－2，当且仅当a＝b＝－1时等号成立．] 4．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，那么土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　) A．5 km处　　　　　　　 B．4 km处 C．3 km处　　　　　　　 D．2 km处 A　[设仓库建在离车站x km处，则土地费用y1＝(k1≠0)，运输费用y2＝k2x(k2≠0).把x＝10，y1＝2代入y1＝得k1＝20.把x＝10，y2＝8代入y2＝k2x得k2＝.故总费用y＝＋x≥2＝8，当且仅当＝x，即x＝5时等号成立．] 5．某公司一年购买某种货物400 t，每次都购买x t，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最少，则x＝________t. 20　[总运费与总存储费用之和f(x)＝4x＋×4＝4x＋≥2 ＝160，当且仅当4x＝，即x＝20时等号成立，f(x)最小．] 6．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，若将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为(560＋48x)元．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝. 解　设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元， 则f(x)＝(560＋48x)＋ ＝560＋48x＋(x≥10，x∈N＋). 又48x＋≥2 ＝2＝1 440， 当且仅当48x＝，即x＝15时，等号成立，因此，当x＝15时，f(x)取最小值，f(15)＝2 000. 故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层． 7．某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的矩形综合性休闲广场，其总面积为3 000 m2，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2 m，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S m2. (1)分别写出用x表示y和S的函数关系式(写出函数定义域). (2)怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？ 解　(1)由已知得xy＝3 000，2a＋6＝y， 则y＝(6<x<500)， S＝(x－4)a＋(x－6)a ＝(2x－10)a＝(2x－10)· ＝(x－5)(y－6)＝3 030－6x－(6<x<500). (2)S＝3 030－6x－≤3 030－2 ＝3 030－2×300＝2 430， 当且仅当6x＝，即x＝50时，等号成立． 故设计x＝50 m，y＝60 m时，运动场地面积最大，最大值为2 430 m2. 8．(多选题)若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M不可能的取值为(　　) A．1　　　　　 　B．2 C．3　　　　　 　D．4 BCD　[因为正实数x，y满足x＋y＝2， 所以xy≤＝＝1. 所以≥1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立． 又≥M恒成立， 所以M≤1，即M的最大值为1，不可能取到2，3，4.] 9．已知x，y为正实数，若x＋2y＝1，则的最小值为________． 2＋2　[＝＋＋＝＋＋＝＋＋2≥2＋2(当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立).] 10．设a，b为正实数，且＋＝2. (1)求a2＋b2的最小值． (2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值． 解　(1)∵a，b为正实数，且＋＝2 ≥2(当且仅当a＝b时等号成立)， ∴ab≥(当且仅当a＝b时等号成立). ∵a2＋b2≥2ab≥2×＝1(当且仅当a＝b时等号成立)， ∴a2＋b2的最小值为1. (2)∵＋＝2，∴a＋b＝2ab. ∵(a－b)2≥4(ab)3， ∴(a＋b)2－