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模块复习课(七) 函数应用
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单元素养强化(七)
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eq \a\vs4\al(一、方程的解与函数的零点)
函数的零点及判断其个数的方法
(1)方程的解与函数的零点之间存在着紧密的关系:方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
(2)确定函数零点的个数有两个基本方法:一是利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断;二是判断区间(a, b)上是否有零点,可应用f(a)·f(b)与0的关系判断.
[提醒] 函数的零点是一个实数而非一个点,函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象交点的横坐标 eq \o(.,\s\do4( ,))
[训练1] 设f(x)=x3+bx+c是[-1,1]上的增函数,且f(- eq \f(1,2) )·f( eq \f(1,2) )<0,则方程f(x)=0在[-1, 1]内( )
A.可能有3个解
B.可能有2个解
C.有唯一解
D.没有解
C [由于f(x)=x3+bx+c是[-1,1]上的增函数,且f(- eq \f(1,2) )·f( eq \f(1,2) )<0,所以f(x)在(- eq \f(1,2) , eq \f(1,2) )上有唯一零点,即方程f(x)=0在[-1,1]内有唯一解.]
[训练2] (多选题)设方程|x2-3|=a的解的个数为m,则m可能等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
BCD [在同一平面直角坐标系中分别画出函数y1=|x2-3|和y2=a的图象,如右图所示.可知方程解的个数为0,2,3或4,不可能有1个解.]
eq \a\vs4\al(二、利用二分法求方程的近似解)
1.利用二分法求方程的近似解的步骤
(1)构造函数,转化为求函数的零点.
(2)明确精确度和函数的零点所在的区间(最好区间左右端点相差1).
(3)利用二分法求函数的零点.
(4)归纳结论.
2.使用二分法的注意事项
(1)二分法的实质是通过“取中点”,不断缩小零点所在区间的范围,所以要选好计算的初始区间,保证所选区间既符合条件,又使区间长度尽量小.
(2)计算时注意依据给定的精确度,及时检验计算所得的区间是否满足精确度的要求.
(3)二分法在具体使用时有一定的局限性,首先二分法只能一次求得一个零点,其次f(x) 在(a,b)内的不变号零点,不能用二分法求得.
[训练3] 若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下:f(1)=-2,f(1.5)=0.625,f(1.25)=-0.984,f(1.375)=-0.260,f(1.438)=0.165,则方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根可以为(精确度为0.1)( )
A.1.2
B.1.35
C.1.43