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模块复习课
模块复习课(六) 对数运算与对数函数
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谢谢观看!
eq \a\vs4\al(一、对数运算)
1.对数的运算性质
已知a>0,b>0,a≠1,M>0,N>0,m,n∈R,m≠0.
(1)logaM+logaN=loga(MN);
(2)logaM-logaN=loga eq \f(M,N) ;
(3)logambn= eq \f(n,m) logab.
2.换底公式及常用结论
已知a>0,a≠1,b>0,b≠1,N>0,m>0,m≠1,n∈R,c>0,c≠1.
(1)logaN= eq \f(logmN,logma) ;(2)logab= eq \f(1,logba) =loganbn;
(3)alogaN=N;(4)logab·logba=1;
(5)logab·logbc·logca=1.
[训练1]
eq \f(\r((lg 3)2-lg 9+1)(lg \r(27)+lg 8-lg \r(1 000)),lg 0.3·lg 1.2) =_______.
- eq \f(3,2) [∵ eq \r((lg 3)2-lg 9+1) = eq \r((lg 3)2-2lg 3+1) =1-lg 3,
lg eq \r(27) +lg 8-lg eq \r(1 000) = eq \f(3,2) lg 3+3lg 2- eq \f(3,2) = eq \f(3,2) (lg 3-1)+3lg 2= eq \f(3,2) (lg 3+2lg 2-1),
lg 0.3·lg 1.2=lg eq \f(3,10) ·lg eq \f(12,10) =(lg 3-1)(lg 12-1)
=(lg 3-1)(lg 3+2lg 2-1),
∴原式=- eq \f(3,2) .]
[训练2] (1)计算: (2- eq \r(3) );
(2)已知2lg eq \f(x-y,2) =lg x+lg y,求 eq \f(x,y) .
解 (1)方法一(利用对数定义求值)
设 (2- eq \r(3) )=x,
则(2+ eq \r(3) )x=2- eq \r(3) = eq \f(1,2+\r(3)) =(2+ eq \r(3) )-1.∴x=-1.
方法二(利用对数的运算性质求解)
(2- eq \r(3) )= eq \f(1,2+\r(3)) = (2+ eq \r(3) )-1=-1.
(2)由已知得lg ( eq \f(x-y,2) )2=lg xy,
∴( eq \f(x-y,2) )2=xy,即x2-6xy+y2=0.
∴( eq \f(x,y) )2-6( eq \f(x,y) )+1=0. ∴ eq \f(x,y) =3±2 eq \r(2) .
∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x-y>0,,x>0,,y>0,)) ∴ eq \f(x,y) >1.∴ eq \f(x,y) =3+2 eq \r(2) .
∴ eq \f(x,y) = (3+2 eq \r(2) )= eq \f(1,3-2\