2.3 第2课时 函数单调性的证明及应用（课件PPT）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

第二章　函　数 §3　函数的单调性和最值 第二课时　函数单调性的证明及应用 栏目索引 课堂 探究案 冲关 演练案 课堂 探究案 返回导航 高中数学 必修 第一册（配北师大版） 第二章　函　数 返回导航 高中数学 必修 第一册（配北师大版） 第二章　函　数 返回导航 高中数学 必修 第一册（配北师大版） 第二章　函　数 返回导航 高中数学 必修 第一册（配北师大版） 第二章　函　数 返回导航 高中数学 必修 第一册（配北师大版） 第二章　函　数 返回导航 高中数学 必修 第一册（配北师大版） 第二章　函　数 返回导航 高中数学 必修 第一册（配北师大版） 第二章　函　数 返回导航 高中数学 必修 第一册（配北师大版） 第二章　函　数 返回导航 高中数学 必修 第一册（配北师大版） 第二章　函　数 返回导航 高中数学 必修 第一册（配北师大版） 第二章　函　数 返回导航 高中数学 必修 第一册（配北师大版） 第二章　函　数 返回导航 高中数学 必修 第一册（配北师大版） 第二章　函　数 返回导航 高中数学 必修 第一册（配北师大版） 第二章　函　数 返回导航 高中数学 必修 第一册（配北师大版） 第二章　函　数 冲关 演练案 返回导航 高中数学 必修 第一册（配北师大版） 第二章　函　数 返回导航 高中数学 必修 第一册（配北师大版） 第二章　函　数 返回导航 高中数学 必修 第一册（配北师大版） 第二章　函　数 返回导航 高中数学 必修 第一册（配北师大版） 第二章　函　数 谢谢观看！ 探究一　利用函数单调性定义证明函数单调性 [知能解读]　 1．增减函数定义中x1，x2的三个特征 (1)任意性：定义中“∀”不能去掉，应用时不能以特殊代替一般． (2)有大小：一般令x1<x2． (3)同区间：x1和x2属于同一个单调区间． 2．单调性的两个特性 (1) “整体”性：单调函数在同一个单调区间上具有的性质是相同的． (2) “局部”性：指的是一个函数在定义域不同区间内单调性可以不同；即使相同，单调区间与定义域也不一定相同． 证明：函数f(x)＝x＋ eq \f(1,x) 在x∈(1，＋∞)上是增函数． 证明　∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋ eq \f(1,x1) －x2－ eq \f(1,x2) ＝(x1－x2)＋ eq \f(x2－x1,x1x2) ＝(x1－x2) eq \f(x1x2－1,x1x2) ． ∵x2>x1>1， ∴x1－x2＜0，x1x2＞1，x1x2－1＞0． ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． ∴函数f(x)＝x＋ eq \f(1,x) 在(1，＋∞)上是增函数． [变式]　将本例中的条件“x∈(1，＋∞)”改为“x∈(0, 1)”，判断并证明函数f(x)＝x＋ eq \f(1,x) 的单调性． 解　函数f(x)＝x＋ eq \f(1,x) 在(0，1)上单调递减．证明如下： ∀x1，x2∈(0，1)，且x1<x2, 则f(x1)－f(x2)＝x1＋ eq \f(1,x1) －x2－ eq \f(1,x2) ＝(x1－x2)＋ eq \f(x2－x1,x1x2) ＝(x1－x2) eq \f(x1x2－1,x1x2) ． ∵0＜x1＜x2＜1，∴x1－x2＜0，0＜x1x2＜1，x1x2－1＜0． ∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)． ∴函数f(x)＝x＋ eq \f(1,x) 在(0，1)上是减函数． [方法总结]　利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2． (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子． (3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号． (4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性． [提醒]　作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式． [训练1]　利用单调性的定义证明：函数y＝ eq \f(x＋2,x＋1) 在(－1，＋∞)上是减函数． 证明　∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝ eq \f(x1＋2,x1＋1) － eq \f(x2＋2,x2＋1) ＝ eq \f(x2－x1,（x1＋1）（x2＋1）) ． 因为－1<x1<x2， 所以x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0． 所以 eq \f(x2－x1,（x1＋1）（x2＋1）) ＞0， 即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)． 所