难点冲刺04 直线和圆最值范围问题-2023-2024学年高二数学上学期重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019）

难点冲刺04直线和圆最值范围问题 一、斜率型、直线型、距离型 可借助图形性质,利用数形结合求解， （1）形如的式子可转化为动直线斜率的问题. （2）形如的式子可转化为动直线截距的问题. （3）形如的式子可转化为曲线上的点到点的距离平方的问题 二、直线的线段和与差 （1）定直线的动点到两定点距离和的最小值:将其中一点作关于直线对称,使两点在直线异侧,三点共线最短 （2）定直线的动点到两定点距离差的最大值:将其中一点作关于直线对称,使两点在直线同侧,三点共线最短 三、圆上一点到圆外定直线的距离 若直线与圆相离,圆上一点到直线的距离为,为圆心到直线的距离,为圆半径,则. 四、三角代换 圆的标准方程,圆心为,半径为,则圆上的点可假设为是参数) 题型一 倾斜角与斜率的最值范围 【例1】设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知直线，若直线l与连接、两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若过点的直线与以，为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】设有直线的倾斜角为．若在直线上存在点满足，且，则的取值范围是 ． 题型二 含参双动直线的最值范围 【例3】过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M，则的最大值是（    ） A． B．3 C． D． 【例4】（多选）设，过定点的动直线，和过定点的动直线交于点是圆上的任意一点，则下列说法正确的有（    ） A．直线与圆相切时 B．到距离的最大值是 C．直线与圆相交的最短弦长为 D．的最大值为 【变式2-1】（多选）设m是不等于零的实数，过定点M的动直线和过定点N的动直线交于点，下列结论正确的是（    ） A．定点N的坐标是 B． C．的最大值是5 D．的最大值 【变式2-2】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，已知直线，则点到直线距离的最小值为 . 【变式2-3】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 题型三 线段和与差的最值范围 【例5】已知为直线上的一点，则的最小值为 ． 【例6】已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 【变式3-1】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-2】已知点P在直线上运动，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则的最大值是（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【变式3-3】直线分别交轴和于点，，为直线上一点，则的最大值是 ． 题型四 斜率型 【例7】已知点在曲线上运动，则的最大值为 ． 【例8】已知实数x，y满足方程，则的取值范围 . 【变式4-1】函数的值域是 ． 【变式4-2】若实数x，y满足，则下列关于的最值的判断正确的是（    ） A．最大值为2＋，最小值为—2－ B．最大值为2＋，最小值为2－ C．最大值为－2＋，最小值为－2－ D．最大值为—2＋，最小值为2－ 【变式4-3】已知实数x，y满足方程，则的最大值和最小值分别为（    ） A．、 B．， C．， D．， 题型五 直线型 【例9】已知实数x，y满足方程，则的最小值是 ． 【例10】已知实数满足方程，求的最大值和最小值． 【变式5-1】已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【变式5-2】已知实数x，y满足方程．则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知实数满足方程，则的最小值和最大值分别为（     ） A．-9，1 B．-10，1 C．-9，2 D．-10，2 题型六 距离型 【例11】若，则的最小值为 . 【例12】直线与圆相切，则的最大值为（    ） A．16 B．25 C．49 D．81 【变式6-1】已知直线恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【变式6