第四章 指数函数与对数函数（15类知识归纳+34类题型突破）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（人教A版2019必修第一册）

第四章 指数函数与对数函数 （15类知识归纳+34类题型突破） 1.了解根式的相关概念与性质、掌握分数指数幂的运算． 2.理解并掌握指数函数的图象及性质． 3.了解对数的概念与性质、掌握对数的的相关运算． 4.理解并掌握对数函数的图象与性质. 5.理解函数零点的定义，并会用零点存在性定理判断零点所在区间及二分法近似求解. 1. 根式的相关概念与性质 （1） 方根 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数 当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数，负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. （2） 根式的概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数。 当为奇数时， 当为偶数时， 2. 分数指数幂的意义及应用 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3. 实数指数幂的运算性质及应用 ①同底数幂的乘法运算 ②同底数幂的除法运算 ③幂的乘方运算 ④积的乘方运算 4. 指数函数的定义 一般地，函数，叫做指数函数。 5. 指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图 像 定义域 R 值域 (0，+∞) 性质 （1）过定点（0，1） （2）当x>0时，y>1; x<0时,0<y<1 (2)当x>0时，0<y<1;x<0时, y>1 (3)在（-，+）上是增函数 （3）在（-，+）上是减函数 6. 对数的定义 如果，那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。 7. 两种特殊的对数 一般对数：底数为，，记为 常用对数：底数为10，记为； 自然对数：底数为e（e≈2.71828…），记为 8. 指数和对数的互化公式 9. 对数的性质与运算法则 （1） 两个基本对数： ①，② （2） 对数恒等式： ①，② （3） 幂的对数： ①： ②： ③： （4） 积的对数： （5） 商的对数： 10. 换底公式： ； 推广1：对数的倒数式 推广2： 11. 对数函数的定义 形如：的函数叫做对数函数 判断下列函数是否为对数函数 ①，②，③， ④，⑤，⑥， ⑦ 12. 对数函数的图象与性质 图象 性质 （1）定义域：（0,+） （2）值域：R （3）当x=1时，y=0即过定点（1，0） （4）当时，； 当时， （4）当时，； 当时， （5）在（0,+）上为增函数 （5）在（0,+）上为减函数 13. 函数的零点 对于函数，我们把的实数叫做函数的零点 14. 函数的零点与方程的根和图象与轴交点的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴交点的横坐标 方程的实数解 函数的零点 函数的图象与轴有交点 15. 零点存在性定理 如果函数在区间的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间至少有一个零点，即存在，使得，这个也是方程的解 题型一 根式的化简求值 【例1】（1）（2023春·江西抚州·高一资溪县第一中学校考期末） （    ） A． B． C． D． （2）（2022秋·西藏拉萨·高一拉萨中学校考期末）若，，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 巩固训练： 1．（2023秋·江苏南通·高一统考期末）式子的值为（    ） A． B． C． D．1 2．（2023秋·湖南娄底·高一统考期末）（多选）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二　指数幂的运算 【例2】（1）（2023秋·天津河西·高一统考期末）（    ） A． B． C． D． （2）（2022秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知，则的值是（    ） A．47 B．45 C．50 D．35 巩固训练 1．（2023春·江西抚州·高一江西省乐安县第二中学校考期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·甘肃白银·高一统考期末）下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型三　分数指数幂与根式的互化 【例3】（1）（2023春·江西·高一赣州市第四中学校考期末）可化为(　　) A． B． C． D． （2）（2023秋·上海金山·高一统考期末）将化为有理数指数幂的形式为 ． （3）（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末）化简（a，b为正数）的结果是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2023秋·上海浦东新·高一上海师大附中校考期末）把化成有理数指数幂的形式为 . 2．（2023秋·陕西西安·高一校考期末）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 题型四　指数幂化简求值 【例4】（1