第2章 平面解析几何 章末回顾与提升（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

第1课时　直线与圆 一、两直线的平行与垂直 1．判断两直线平行、垂直的方法 (1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1＝k2⇔l1∥l2． (2)若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1⇔l1⊥l2． (讨论两直线平行、垂直时不要遗漏直线斜率不存在的情况) 2．讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理素养． 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0；l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值． (1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直． (2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等． 解：(1)因为l1⊥l2， 所以a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0．① 又点(－3，－1)在l1上，所以－3a＋b＋4＝0．② 由①②解得a＝2，b＝2． (2)因为l1∥l2且l2的斜率为1－a， 所以l1的斜率也存在，＝1－a，即b＝． 故l1和l2的方程可分别表示为 l1：(a－1)x＋y＋＝0，l2：(a－1)x＋y＋＝0． 因为原点到l1与l2的距离相等， 所以4＝，所以a＝2或a＝． 因此或 [训练1] 若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是________． 答案：垂直 解析：将点A(4，－1)的坐标代入ax－y＋1＝0，得a＝－，则kl1·kl2＝－×2＝－1，∴l1⊥l2． [训练2] 已知A(1，－)，B(0，－)，C(2－2a，1)，D(－a，0)四点，若直线AB与直线CD平行，则a＝________． 答案：3 解析：kAB＝＝－，当2－2a＝－a，即a＝2时， kAB＝－，CD的斜率不存在，∴AB和CD不平行； 当a≠2时，kCD＝＝． 由kAB＝kCD，得－＝，即a2－2a－3＝0． ∴a＝3或a＝－1． 当a＝3时，kAB＝－1，kBD＝＝－≠kAB， ∴AB与CD平行． 当a＝－1时，kAB＝，kBC＝＝，kCD＝＝， ∴AB与CD重合． ∴当a＝3时，直线AB和直线CD平行． 二、两直线的交点与距离问题 1．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题． 2．两直线的交点与距离问题，培养学生数学运算的核心素养． (1)若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为(　　) A．－1 B．5 C．－1或5 D．－3或3 (2)过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程． (1)C　解析：∵点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是， ∴＝，即|a－2|＝3，解得a＝－1或a＝5， ∴实数a的值为－1或5． (2)解：设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上， 代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0， 解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上， 所以直线l的方程为x＋4y－4＝0． [训练3] 若两平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于，则k的取值范围是(　　) A．[－11，－1] B．[－11，0] C．[－11，－6)∪(－6，－1] D．[－1，＋∞) C　解析：y＝－2x－k－2可化为2x＋y＋k＋2＝0，由题意，得＝≤，且k＋2≠－4，得－5≤k＋6≤5，且k≠－6，即－11≤k≤－1，且k≠－6． [训练4] 已知正方形的中心为(0，－1)，其中一条边所在直线的方程为3x＋y－2＝0．求其他三条边所在直线的方程． 解：设其中一条边为3x＋y＋D＝0(D≠－2)， 则＝，解得D＝4或D＝－2(舍去)，所以3x＋y＋4＝0； 设另外两边为x－3y＋E＝0，则＝， 解得E＝0或E＝－6，所以x－3y＝0或x－3y－6＝0． 所以其他三边所在直线的方程分别为3x＋y＋4＝0，x－3y＝0，x－3y－6＝0． 三、直线与圆的位置关系 1．直线与圆位置关系的判断方法 (1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r．若d<r，则直线和圆相交；若d＝r，则直线和圆相切；若d>r，则直线和圆相离． (2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ．Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离． 2．研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养． 已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0． (1)m∈R时，证明：l与C总相交； (2)m取何值时，l 被C截得的弦长最短，求此弦长． (1)证