第1章 空间向量与立体几何 章末回顾与提升（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

一、空间向量的线性运算与数量积 1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量． 2．空间向量的数量积的定义表达式为a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉，其他变式如夹角公式cos 〈a，b〉＝，模的公式a2＝|a|2等都是解决立体几何问题的重要公式． 如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2．给出以下结论： ①＋＋＋＝0；②＋－－＝0；③－＋－＝0；④·＝·；⑤·＝0． 其中正确结论的序号是__________． 答案：③④ 解析：由题意可推出－＋－＝＋＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2·2·cos∠ASB，·＝2·2·cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此④正确；其余三个都不正确． [训练1] 　已知空间四面体OABC各边及对角线长都等于2，E，F分别为AB，OC的中点，则向量与向量所成角的余弦值为________． 答案：－ 解析：由已知得＝(＋)，＝－＝－， 因此||＝|＋|＝＝， ||＝|－|＝＝． 又因为·＝(＋)·(－)＝×2－×2＋×2－2＝－2，所以向量与向量所成角的余弦值cos 〈，〉＝＝＝－． 二、空间向量的坐标运算 熟记空间向量的坐标运算公式 设a＝(x1, y1, z1)，b＝(x2, y2, z2)， (1)加减运算：a±b＝(x1±x2, y1±y2, z1±z2)． (2)数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2． (3)向量夹角：cos 〈a，b〉＝． (4)向量长度：设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，则||＝． 提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算． (1)(多选)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，－2)，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6) C．a·b＝10 D．|a|＝6 (2)(多选)(2021·辽宁葫芦岛市高二期末)若a＝(－1，λ，－2)，b＝(2，－1，1)，a与b的夹角为120°，则λ的值为(　　) A．17 B．－17 C．－1 D．1 (1)AD　(2)AC　解析：(1)因为a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，－2)，所以a＋b＝(10，－5，－6)，a－b＝(－2，1，－2)，a·b＝4×6＋(－2)×(－3)＋(－4)×(－2)＝38，|a|＝＝6．故选AD． (2)由已知a·b＝－2－λ－2＝－λ－4，|a|＝＝，|b|＝＝， ∴cos 120°＝＝＝－，解得λ＝17或λ＝－1．故选AC． [训练2] 已知a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x＝__________． 答案：(0，6，－20) 解析：由b＝x－2a得x＝4a＋2b，又4a＋2b＝4(2，3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0，6，－20)，∴x＝(0，6，－20)． [训练3] 已知向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，a∥b，b⊥c． (1)求向量a，b，c； (2)求a＋c与b＋c所成角的余弦值． 解：(1)∵向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，且a∥b，b⊥c， ∴解得 ∴向量a＝(－1，1，2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3，1，1)． (2)∵a＋c＝(2，2，3)，b＋c＝(4，0，－1)， ∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5， |a＋c|＝＝， |b＋c|＝＝， ∴cos 〈a＋c，b＋c〉＝＝． 三、利用空间向量证明平行、垂直问题 证明平行、垂直问题，除了应用传统的证明平行、垂直的判定定理外，还可以利用向量共线、平面的法向量及向量的数量积进行证明． 在四棱锥P­ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点． (1)求证：BM∥平面PAD； (2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由． (1)证明：以A为原点，分别以AB，AD，AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1)， ∵＝(0，1，1)， 平面PAD的一个法向量为n＝(1，0，0)， ∴·n＝0，即⊥n， 又BM⊄平面PAD，∴BM∥平面PAD． (2)解：＝(－1，2，