2.8 直线与圆锥曲线的位置关系（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2．8　直线与圆锥曲线的位置关系 课程标准 核心素养目标 掌握直线圆锥曲线的位置关系． 1．会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题．(数学运算) 2．加强数形结合思想的训练与应用．(直观想象) 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，有且只有一个公共点及有两个相异的公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程，消元后所得方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0． 由消元，如消去y后得ax2＋bx＋c＝0． ①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)． ②若a≠0，设Δ＝b2－4ac． Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同的两点； Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点； Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点． [微练]判断正误 (1)已知椭圆＋＝1(a>b>0)与点P(b，0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．(　×　) (2)直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系是相交．(　√　) (3)若直线与抛物线只有一个交点，则该直线与抛物线相切．(　×　) 2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2 (x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝ ＝(k≠0)． (2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，利用两点间距离公式直接运算． 知识点一 直线与圆锥曲线位置关系的判断 已知直线l：kx－y＋2－k＝0，双曲线C：x2－4y2＝4，当k为何值时， (1)l与C无公共点； (2)l与C有唯一公共点； (3)l与C有两个不同的公共点． 解：(1)将直线方程与双曲线方程联立，消去y得(1－4k2)x2－8k(2－k)x－4(k2－4k＋5)＝0．① 要使l与C无公共点，即方程①无实数解， 则有1－4k2≠0，且Δ<0，即64k2(2－k)2＋16(1－4k2)(k2－4k＋5)<0． 解得k>或k<， 故当k>或k<时，l与C无公共点． (2)当1－4k2＝0，即k＝±时，方程①只有一解； 当1－4k2≠0，且Δ＝0，即k＝时， 方程①只有一解， 故当k＝±或k＝时，l与C有唯一公共点． (3)当1－4k2≠0，且Δ>0时，方程①有两个不同的解， 于是可得，当<k<，且k≠±时，l与C有两个不同的公共点． 直线y＝kx＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是________． 答案：[1，5) 解析：方法一：利用数形结合，直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，直线与椭圆总有公共点等价于点(0，1)在椭圆内或椭圆上⇔＋≤1，即m≥1，又＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，所以0＜m＜5故m∈[1，5)． 方法二：由⇒(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0， 则Δ＝100k2－20(1－m)(m＋5k2)≥0对k∈R恒成立⇔5mk2＋m2－m≥0对k∈R恒成立， 又m＞0，则有5k2≥1－m对k∈R恒成立，故1－m≤0，即m≥1， 又＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，所以0＜m＜5，所以m∈[1，5)． 已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则(　　) A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点 C　解析：直线方程可化为y＝k(x－1)，因此直线恒过定点(1，0)，点(1，0)在抛物线y2＝2px(p>0)的内部，因此直线与抛物线有一个或两个公共点，故选C． 知识点二 弦长问题 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m． (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在直线的方程． 解：(1)由消去y，得5x2＋2mx＋m2－1＝0． ∵直线与椭圆有公共点，∴Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤． 即实数m的取值范围是[－，]． (2)设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)． ∴d＝＝＝＝＝， ∴当m＝0时，d最大，此时直线方程为y＝x． (1)若直线l与圆锥曲线F(x，y)＝0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法： 方法一是求出两交点坐标，用两点间距离公式； 方法二是用弦长公式|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|，其中k为直线AB的斜率，A(x1，y1)，B(x2，y2)为弦AB的端点． (2)有关直线与椭圆相交弦长最值问题，要特别注意判别式的限制． 椭圆有两个顶点A(－1，0