2.7.2 抛物线的几何性质（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2．7．2　抛物线的几何性质 课程标准 核心素养目标 了解抛物线的简单几何性质． 1．能利用性质解决与抛物线有关的问题． 2．能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题． 1．抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图像 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0，0) [微练1]设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B(1，0)，且|AB|＝1，则点A的横坐标为(　B　) A．－2 B．0 C．－2或0 D．－2或2 [微练2]抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是(　D　) A．2 B．2 C． D．1 2．过焦点的弦长公式 直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p． 知识点一 由抛物线的几何性质求其标准方程 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，求这条抛物线的方程． 解：如图， 设所求抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)， 设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＞0，y2＜0)，则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2，由对称性知y2＝－y1，∴y1＝． 将y1＝代入x2＋y2＝4得x1＝±1， ∴点(1，)，(－1，)分别在抛物线y2＝2px，y2＝－2px上． ∴3＝2p或3＝(－2p)×(－1)，p＝． 故所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x． 根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论． 边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　) A．y2＝x B．y2＝－x C．y2＝±x D．y2＝±x C　解析：设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A(±，)(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x．故选C． 知识点二 抛物线的性质及应用 已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程． 解：抛物线的焦点为F(，0)． ∵抛物线关于x轴对称，|OA|＝|OB|， ∴△ABO为等腰三角形，且A，B两点关于x轴对称． 设A(x0，y0)，则B(x0，－y0)． ∵△ABO的垂心恰为抛物线的焦点，∴BF⊥OA． 则kBF·kOA＝－1，即·＝－1． 又y＝2px0，∴x0＝p，∴直线AB的方程为x＝． [探究] (变条件)本例若把“垂心”改为“重心”，其他条件不变，AB的方程如何？ 解：∵抛物线关于x轴对称，|OA|＝|OB|， ∴A, B两点关于x轴对称． 又F为△ABO的重心，|OF|＝， ∴AB的方程应为x＝＋＝． 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题． (2)焦点、准线：解决与抛物线定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点：解决焦点弦问题． 已知定点A(－3，0)，B(3，0)，动点P在抛物线y2＝2x上移动，则·的最小值等于________． 答案：－9 解析：设P(x，y)，因为A(－3, 0)，B(3, 0)，则·＝(－3－x，－y)·(3－x，－y)＝x2＋y2－9＝x2＋2x－9＝(x＋1)2－10(x≥0)，所以当x＝0时，(·)min＝－9． 知识点三 抛物线的焦点弦问题 过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝7，求线段AB的长． 解：由抛物线的方程得＝1，所以根据抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋1＋x2＋1＝7＋2＝9． 抛物线焦点弦问题的解法 (1)由于抛物线的焦点弦过焦点，因此与焦点弦有关的问题要注意结合抛物线的定义求解． (2)焦点弦有关的问题要把过焦点的直线方程与抛物线方程联立，再结合根与系数的关系求解． [探究] (变条件)本例中，若点A，B是倾斜角为60°的直线与抛物线的交点，则|AB|等于多少？ 解：因为抛物线的焦点是(1，0)，所以直线AB的方程为y＝(x－1)，与抛物线方程联立消去y得3x2－10x＋3＝0，