2.6.2 双曲线的几何性质（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2．6．2　双曲线的几何性质 课程标准 核心素养目标 掌握双曲线的简单几何性质． 1．会求与双曲线几何性质有关的简单问题．(逻辑推理) 2．能用定义或建立方程(或不等式)求离心率．(数学运算) 2．会求与双曲线渐近线有关的问题．(逻辑推理、数学运算) 双曲线的简单几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 x≤－a或x≥a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：(0，0) 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴长 实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 离心率 e＝且e＞1 渐近线 y＝±x y＝±x a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线． 双曲线与椭圆的六个不同点 双曲线 椭圆 曲线 两支曲线 封闭的曲线 顶点 两个顶点 四个顶点 轴 实、虚轴 长、短轴 渐近线 有渐近线 无渐近线 离心率 e>1 0<e<1 a，b，c关系 a2＋b2 ＝ c2 a2－b2 ＝ c2 [微练1]双曲线－y2＝1的顶点坐标是(　B　) A．(4，0)，(0，1) B．(－4，0)，(4，0) C．(0，1)，(0，－1) D．(－4，0)，(0，－1) [微练2]双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　C　) A．2 B．2 C．4 D．4 [微练3]双曲线－＝－3的渐近线方程为(　A　) A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x [微练4]若双曲线－＝1的离心率e＝2，则m＝48． 知识点一 由双曲线的标准方程研究其几何性质 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． 解：把方程nx2－my2＝mn(m＞0, n＞0)化为标准方程得－＝1(m＞0, n＞0)， 由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝， c＝，焦点坐标为(，0)，(－，0)， 离心率e＝＝＝． 顶点坐标为(－，0)，(，0)． 所以渐近线的方程为y＝±x＝±x． 由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤 求双曲线9x2－y2＝81的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程和离心率． 解：将9x2－y2＝81化为－＝1，所以双曲线的焦点在x轴上，且a2＝9，b2＝81， 从而a＝3，b＝9，c＝＝3，所以实轴长2a＝6，虚轴长2b＝18，顶点坐标为(3，0)，(－3，0)，焦点坐标为(3，0)，(－3，0)，渐近线方程为y＝±3x，离心率e＝＝． 知识点二 求双曲线的离心率 (1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． (2)若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　) A．(，＋∞) B．(，2) C．(1，) D．(1，2) 答案：(1)A　(2)C 解析：(1)由题意，得|PF1|－|PF2|＝2|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a．在△PF1F2中，由余弦定理，可得＝，所以＝，所以双曲线C的离心率为．故选A． (2)由题意得双曲线的离心率e＝． ∴e2＝＝1＋．∵a＞1，∴0＜＜1， ∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜．故选C． 求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解． (2)若已知a，b，可直接利用e＝得解． (3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解． 已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a＝(　　) A． B．4 C．2 D． D　解析：由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1．∴5＝e2＝＝＝1＋．结合a>0，解得a＝． 知识点三 双曲线的渐近线问题 (1)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　) A．y＝±x　 B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x (2)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________． 答案：(1)A