2.5.1 椭圆的标准方程（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2．5　椭圆及其方程 2．5．1　椭圆的标准方程 课程标准 核心素养目标 1．经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义． 2．掌握椭圆的标准方程． 3．掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程． 1．能掌握椭圆标准方程的建立和推导．(逻辑推理) 2．会求椭圆的标准方程．(逻辑推理、数学运算) 1．椭圆的定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距． 1．定义中“a”必须是常数而不能是变量； 2．若将椭圆的定义中去掉限制条件“2a>|F1F2|”后，动点P的轨迹：当2a<|F1F2|时，动点P的轨迹不存在；当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹为线段F1F2． [微练1]判断正误 (1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹称为椭圆．(　×　) (2)到两定点F1(－2，0)和F2(2，0)的距离之和为3的点M的轨迹为椭圆．(　×　) [微练2]到两定点F1(－7，0)和F2(7，0)的距离之和为14的点P的轨迹是(　B　) A．椭圆 B．线段 C．圆 D．以上都不对 2．椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a＞b＞0) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 在椭圆的标准方程中，通过比较x2，y2的分母判断椭圆焦点位置，当x2的分母大时，焦点在x轴上，反之在y轴上． [微练3]判断正误 (1)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(　×　) (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边，且a2＝b2＋c2．(　√　) [微练4]已知椭圆中a＝5，c＝3，焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为＋＝1． 知识点一 椭圆的定义及应用 如图所示，已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点． (1)若椭圆上一点P到焦点F1的距离等于15，那么点P到另一个焦点F2的距离是多少？ (2)过焦点F1作直线与椭圆交于A，B两点，试求△ABF2的周长． 解：由椭圆的标准方程可知a2＝100，所以a＝10． (1)由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，又|PF1|＝15， 所以|PF2|＝20－15＝5． (2)△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)． 由椭圆的定义可知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a， 故|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝40． 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a． (2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解． 椭圆＋＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于________． 答案：4 解析：设椭圆的右焦点为F2，则由|MF1|＋| MF2|＝10，知|MF2|＝10－2＝8．又因为点O为F1F2的中点，点N为MF1的中点，所以|ON|＝|MF2|＝4． 知识点二 椭圆标准方程 根据下列条件，求出椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26； (2)经过点P(1，)，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上． 解：(1)∵椭圆的焦点在y轴上， ∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． ∵2a＝26，∴a＝13． 又c＝5，∴b2＝a2－c2＝144． ∴所求椭圆方程为＋＝1． (2)方法一　∵焦点在x轴上，∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 又2c＝2，a2＝b2＋1． 椭圆经过点P(1，)，∴＋＝1，解得b2＝3． ∴a2＝4，∴椭圆的标准方程为＋＝1． 方法二　∵焦距为2，焦点在x轴上， ∴焦点坐标为(－1，0)，(1，0)． 又点P(1，)在椭圆上， ∴2a＝＋＝4， ∴a＝2，b2＝a2－c2＝3， ∴椭圆的标准方程为＋＝1． 求椭圆标准方程的方法 (1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程． (2)待定系数法 ①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a，b，c的等量关系；④求a，b的值，代入所设方程． 特别提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2