2.5 椭圆及其方程 2.5.1 椭圆的标准方程 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 本同步练聚焦椭圆标准方程，通过基础概念辨析、中档运算应用、拓展综合探究三层设计，构建从单一知识点到实际情境应用的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|椭圆定义与标准方程|以★标记题（如焦点位置判断）强化概念理解，培养抽象能力| |提升层|焦点三角形与几何性质|通过距离计算、轨迹方程题（如第6题）发展运算能力与推理意识| |拓展层|综合应用与情境探究|结合折叠情境（第11题）、圆与椭圆综合题（第16题），发展数学建模与创新意识|

2.5　椭圆及其方程 2.5.1　椭圆的标准方程 1.C　[解析] 因为方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,所以解得4<m<7,故选C. [易错点] 本题容易因为忽略分母均为正数且焦点在y轴上而导致错误. 2.C　[解析] 设椭圆E的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0),因为椭圆E过A(-2,1),B(,-)两点,所以解得所以椭圆E的方程为+=1.故选C. [提示] 当不确定椭圆(中心为原点)的焦点在x轴还是y轴上时,通常将椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0)形式. 3.C　[解析] 因为点P(x0,y0)的坐标满足+=2,所以P(x0,y0)到两定点(-2,0),(2,0)的距离之和为2,又2>4,所以曲线C为椭圆,焦点为(-2,0),(2,0),则c=2,又椭圆C上任意一点P(x0,y0)到两个焦点的距离之和为2,即2a=2,所以a2=5,则b2=a2-c2=5-4=1,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.故选C. 4.B　[解析] 由椭圆方程+=1得a=3,b=,c==2.设椭圆的左焦点为F',∵A(0,2),F'(-2,0),F(2,0),∴|AF'|=|AF|=4,则△APF的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a-|PF'|=4+6+|AP|-|PF'|≤10+|AF'|=14,当且仅当A,P,F'三点共线,且P在AF'的延长线上时取等号,故△APF的周长的最大值为14.故选B. 5.A　[解析] 设P(m,n),则+=1,所以m2=4,n∈[-3,3],所以|PQ|====,当n=时,|PQ|取得最小值.故选A. 6.A　[解析] 在△ABC中,因为2sin B=sin A+sin C,所以2b=a+c,又A(-1,0),C(1,0),所以b=2,所以a+c=4,即|BC|+|BA|=4>2,由于a>b>c,所以点B的轨迹是以A(-1,0),C(1,0)为焦点的椭圆的左半部分,又22-12=3,所以顶点B的轨迹方程是+=1(x<0).故选A. 7.AD　[解析] 对于A,B,若m>n>0,则mx2+ny2=1可化为+=1,因为m>n>0,所以<,所以曲线C表示焦点在y轴上的椭圆,故A正确,B错误;对于C,若m=n>0,则mx2+ny2=1可化为x2+y2=,此时曲线C表示圆心在原点,半径为的圆,故C错误;对于D,若m=0,n>0,则mx2+ny2=1可化为y2=,即y=±,此时曲线C表示平行于x轴的两条直线,故D正确.故选AD. 8.20　8　[解析] 由椭圆+=1,得a=5,则△F2AB的周长是(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a=20,所以|AB|=|AF1|+|BF1|=20-(|AF2|+|BF2|)=8. 9.　[解析] 根据椭圆方程+=1,得a=4,c==2,则|F1F2|=4.因为点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=8,因为|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=5,|PF2|=3,则|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,所以∠PF2F1=. 10.解:(1)由椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),可得c=1,即2c=2, 由椭圆的定义,可得|PF1|+|PF2|=2a. 因为△PF1F2的周长为8,所以2a+2c=2a+2=8,解得a=3,所以b2=a2-c2=8, 所以椭圆的标准方程为+=1. (2)设点P(x0,y0),由(1)得F2(1,0),则|F1F2|=2, 因为=2,所以·|F1F2|·|y0|=×2×|y0|=2,则|y0|=2,即y0=±2,将y0=±2代入+=1,可得=,解得x0=±, 所以点P的坐标为,,,. 11.A　[解析] 由题意知,|MP|=|PF|,∴|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|(定值),又F是圆内的一个定点,∴|MO|>|FO|,∴根据椭圆的定义可推断出点P的轨迹是以F,O两点为焦点的椭圆.故选A. 12.BD　[解析] 由已知得|PF1|+|PF2|=2a=10,|F1F2|=2c=6,|F1F2|2=|PF1|2+-2|PF1|·|PF2|cos,整理得|PF1|·|PF2|=.对于选项A,△F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16,故A错误;对于选项B,=|PF1|·|PF2|sin=,则点P到x轴的距离为=,故B正确;对于选项C,由B知=,故C错误;对于选项D,·=||·||cos=,故D正确.故选BD. 13. 　[解析] 由+=1,可得a=4,b=3,则2a=8,c2=a2-b2=16-9=7.设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a=8,mn=12,由余弦定理得28=4c2=m2+n2-2mncos∠F1PF2=(m+n)2-2mn-2mncos∠F1PF2=64-24-24cos∠F1PF2,可得cos∠F1PF2=,故∠F1PF2=. [技巧点拨] 当条件中涉及椭圆上的点P与焦点距离的乘积时,一般要考虑应用余弦定理. 14.解:(1)由已知得|F1F2|=4. 因为|F1F2|=2c,所以c=2.由点P(-3,1)在椭圆C上, 可得+=1,即+=1①, 由c2=a2-b2,得a2-b2=8②,由①②,可得b2=4,a2=12, 故椭圆C的标准方程为+=1. (2)因为∠F1PF2=,所以△F1PF2的面积S=|PF1||PF2|sin=,则|PF1||PF2|=2. 由2a=2,得a=.根据椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2, 所以(|PF1|+|PF2|)2=24,即++2|PF1||PF2|=24③. 由余弦定理可得=+-2|PF1||PF2|cos, 整理得=+-|PF1||PF2|④. 由③④得=24-3|PF1||PF2|,则=18,则|F1F2|=3,所以c=. 在椭圆C中有b2=a2-c2,即b2=()2-=,可得b=. 15.C　[解析] 由题意知A(-2,0),B(2,0).设P(x0,y0),x0>0,y0>0,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1k2=·=,又+=1,即=1-,∴k1k2===-,则k1k2=-①.由正弦定理得==2cos∠PAB,又tan∠PBA=tan 2∠PAB=,∴-k2=②.由①②解得=,即=tan2∠PAB=,所以cos∠PAB=,即=.故选C. 16.7-2　[解析] 如图所示.由圆M:(x-4)2+y2=1,可得圆心M(4,0),半径r=1.由椭圆C:+=1,得F(0,2),设C的下焦点为E,则E(0,-2).由|PF|+|PE|=2a=6,得|PF|=6-|PE|,所以|PF|-|PQ|=6-|PE|-|PQ|=6-(|PE|+|PQ|),要使得|PF|-|PQ|最大,则|PQ|+|PE|最小.因为|PQ|≥|PM|-1,当且仅当Q为线段PM与圆M的交点时,等号成立,所以 |PE|+|PQ|≥|PE|+|PM|-1≥|ME|-1=2-1,当且仅当P为线段ME与椭圆C的交点时,等号成立,所以|PF|-|PQ|≤6-(2-1)=7-2,故|PF|-|PQ|的最大值为7-2. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5　椭圆及其方程 2.5.1　椭圆的标准方程 ★1.[2025·南京高二期中] 若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是 (　 ) A.(-∞,1) B.(1,4) C.(4,7) D.(7,+∞) ★2.[2025·福建厦门高二期末] 椭圆E的中心在原点,焦点在坐标轴上,且过A(-2,1),B(,-)两点,则E的方程为 (　 ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 3.已知曲线C上任意一点P(x0,y0)的坐标都满足关系式+=2,则曲线C的标准方程为 (　 ) A.+=1 B.+=1 C.+y2=1 D.+=1 4.[2025·广东东莞高二期中] 已知椭圆C:+=1的右焦点为F,P是椭圆上任意一点,点A(0,2),则△APF的周长的最大值为 (　 ) A.9+ B.14 C.7+2+ D.15+ 5.椭圆+=1上任意一点P到点Q(0,1)的距离的最小值为 (　 ) A. B. C.2 D.1 6.在△ABC中,已知A(-1,0),C(1,0),若a>b>c(a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C所对的边),且满足2sin B=sin A+sin C,则顶点B的轨迹方程是 (　 ) A.+=1(x<0) B.+=1(x<0) C.+=1(x>0) D.+=1(x>0) 7.(多选题)已知曲线C:mx2+ny2=1,则下列说法正确的有 (　 ) A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上 B.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在x轴上 C.若m=n>0,则C是圆,其半径为 D.若m=0,n>0,则C是两条直线 8.已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,则△F2AB的周长为　　　　;若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=　　　　.  9.[2026·广州高二期末] 已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上一点,且|PF1|-|PF2|=2,则∠PF2F1=　　　　.  10.(13分)已知点P是椭圆+=1(a>b>0)上一点,点F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且F1(-1,0),△PF1F2的周长为8. (1)求椭圆的标准方程; (2)若=2,求点P的坐标. 11.如图,一个圆形纸片的圆心为O,F是圆内的一个定点,M是圆周上的一个动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是(　 ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 12.(多选题)设点P为椭圆C:+=1上一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,且∠F1PF2=,则 (　 ) A.△F1PF2的周长为20 B.点P到x轴的距离为 C.△F1PF2的面积为16 D.·= ★13.点P是椭圆+=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若|PF1|·|PF2|=12,则∠F1PF2=　　　　　.  14.(15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点. (1)若焦距为4,点P的坐标为(-3,1),求椭圆C的标准方程; (2)若∠F1PF2=,且2a=2,△F1PF2的面积为,求b的值. 15.[2025·南京高二期中] 已知A,B分别是椭圆+y2=1的左、右顶点,P是椭圆在第一象限内一点.若∠PBA=2∠PAB,则的值是 (　 ) A. B. C. D. 16.已知F为椭圆C:+=1的上焦点,P为椭圆C上一点,Q为圆M:x2+y2-8x+15=0上一点,则|PF|-|PQ|的最大值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $