2.4 曲线与方程（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2．4　曲线与方程 课程标准 核心素养目标 1．掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤． 2．掌握求轨迹方程的几种常用方法． 1．掌握曲线的方程与方程的曲线的概念．(数学抽象，逻辑推理) 2．能够通过求方程组的解，来确定曲线的交点．(数学运算) 3．初步掌握由曲线的已知条件求曲线的方程及根据曲线的方程研究曲线的性质的方法．(逻辑推理) 1．曲线的方程与方程的曲线的定义 在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系： (1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解； (2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上． 则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程． (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解．它阐明的含义是曲线上没有坐标不满足方程的点． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．它阐明的含义是适合条件的所有点都在曲线上，即没有遗漏的点．所以两个条件充分保证了曲线上的点一个也不多，一个也不少，即曲线上的点集与方程的解集之间建立了一一对应关系． 2．求两曲线的交点 已知曲线C1：F(x，y)＝0和曲线C2：G(x，y)＝0，求这两条曲线的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到． 3．求曲线的方程与根据方程研究曲线的性质 (1)点的轨迹方程 曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程． (2)求动点M轨迹方程的一般步骤： ①设动点M的坐标为(x，y)(如果没有平面直角坐标系，需先建立)； ②写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来； ③化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程． [微练]在平面内，若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足·＝0，则P点的轨迹曲线的形状是圆． 知识点一 曲线与方程的概念 如果曲线C上所有点的坐标都是方程 F(x，y)＝0的解，那么以下说法正确的是(　　) A．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 B．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点有些不在曲线C上 C．不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x，y)＝0的解 D．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上 D　解析：由题意可知，曲线C上的所有点构成的集合是方程F(x，y)＝0的解构成的集合的子集，它包含两种情形：①真子集；②相等．据以上可知，选项A，B，C都是不正确的，只有选项D是正确的． 1．曲线与方程的定义表明 曲线C的方程是F(x，y)＝0的充分必要条件是曲线C上所有点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，并且以方程F(x，y)＝0的实数解为坐标的点都在曲线C上，这是识别曲线和方程关系的基本依据． 2．判断点与曲线关系的方法 (1)从点的坐标角度 若点M(x0，y0)在方程f(x，y)＝0所表示的曲线C上，则f(x0，y0)＝0；或若f(x0，y0)≠0，则点M(x0，y0)不在方程f(x，y)＝0表示的曲线C上． (2)从方程的解的角度 若f(x0，y0)＝0，则点M(x0，y0)在方程f(x，y)＝0所表示的曲线C上；或若点M(x0，y0)不在方程f(x，y)＝0表示的曲线C上，则f(x0，y0)≠0． 方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是(　　) A．两条直线　　　　　 　　 B．两条射线 C．两条线段 D．一条直线和一条射线 D　解析：原方程可化为或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线． 知识点二 求曲线的方程 考向一：直接法求曲线方程 已知平面上两个定点A，B之间的距离为2a，点M到A，B两点的距离之比为2∶1，求动点M的轨迹方程． 解：如图所示，以两定点A，B所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系． 由|AB|＝2a，可设A(－a，0)，B(a，0)，M(x，y)． 因为|MA|∶|MB|＝2∶1， 所以∶＝2∶1， 所以＝2． 化简得(x－a)2＋y2＝a2， 所以所求动点M的轨迹方程为(x－a)2＋y2＝a2． 直接法求曲线方程的策略 根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程． 与y轴相切并与圆C：x2＋y2－6x＝0也相外切的圆的圆心的轨迹方程为________． 答案：y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0) 解析：若动圆在y轴右侧，设与y轴相切，且与圆x2＋y2－6x＝0外切的圆的圆心为P(x，y)(x>0)，则半径长为x，因为圆x2＋y2－6x＝0的圆心为(3，0)，所以＝x＋3，则y2