2.3.4 圆与圆的位置关系（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2．3．4　圆与圆的位置关系 课程标准 核心素养目标 能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(数学抽象、逻辑推理、数学运算) 2．能应用圆与圆的位置关系解决其他问题．(数学抽象、逻辑推理、数学运算) 圆与圆位置关系的判断方法 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|< d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| (2)代数法：通过联立两圆方程构成的方程组的公共解的个数进行判断． [微练1]判断正误 (1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．(　×　) (2)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．(　×　) (3)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2．(　√　) [微练2]圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的公切线有且仅有(　D　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：因为两圆的圆心距为3，又由两圆的标准方程可知两圆的半径都为1，半径之和为2，故两圆外离，所以公切线的条数为4． [微练3]若两圆的半径R，r分别为5和2，圆心距d为3，则两圆的位置关系是内切． 解析：因为R＝5，r＝2，d＝3，所以d＝R－r，所以两圆内切． 知识点一 圆与圆位置关系的判定 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2(1)相切；(2)相交；(3)外离． 解：对圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1(a>0)， ∴圆心C1(a，1)，r1＝4，圆心C2(2a，1)，r2＝1， ∴|C1C2|＝＝a． (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切， 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交． (3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离． [探究] 若两圆x2＋y2＝a与x2＋y2＋6x－8y－11＝0内切，则a的值为________． 答案：1或121 解析：∵x2＋y2＝a表示一个圆， ∴a>0，两圆的圆心、半径长分别为(0, 0)，与(－3, 4)，6．由于两圆内切，则＝|－6|，解得a＝121或a＝1． 判断圆与圆位置关系的一般步骤 (1)将两圆的方程化为标准方程(若圆的方程已是标准形式，此步骤不需要)． (2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2． (3)求两圆的圆心距d． (4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系． (5)根据大小关系确定位置关系． 两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．内含 C　解析：方法一(几何法)　把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1，0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝，则两圆的圆心距|C1C2|＝＝，r1＋r2＝2＋，r1－r2＝2－，故r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，所以两圆相交． 方法二(代数法)　联立方程 解得或即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交． 知识点二 两圆相交问题 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0． (1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度． 解：(1)将两圆方程配方化为标准方程，则C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10， ∴圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r1＝5， 圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝． 又∵|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋， |r1－r2|＝|5－|， ∴|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交． (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0． (3)方法一　由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3， ∴公共弦长为l＝2＝2＝2． 方法二　设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组 解得或 ∴|AB|＝＝2，即公共弦长为2． 1．当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：