2.3.3 直线与圆的位置关系（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2．3．3　直线与圆的位置关系 课程标准 核心素养目标 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系． 1．掌握几何法判断直线与圆的位置关系．(数学运算、直观想象) 2．掌握直线与圆相切及其相关问题．(数学运算、直观想象) 3．掌握直线与圆相交及其相关问题．(数学运算、直观想象) 直线与圆位置关系的判断方法 直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系及判断． 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判 定 方 法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 [微练1]直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是(　A　) A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 解析：圆心到直线的距离为d＝＝1<4，所以直线与圆相交． [微练2]若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为(　B　) A．0或2　　　 B．2 C． D．无解 解析：由圆心(0，0)到直线x＋y＋m＝0的距离为半径得＝，解得m＝2或m＝0(舍去)． 知识点一 直线与圆位置关系的判断 求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足： (1)相交；(2)相切；(3)相离． 解：圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4， 故圆心(3，0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝， 圆的半径为r＝2． (1)若相交，则d＜r，即＜2， 所以m＜－2或m＞2； (2)若相切，则d＝r，即＝2， 所以m＝±2； (3)若相离，则d＞r，即＞2，所以－2＜m＜2． 直线与圆位置关系的两种判断方法比较 (1)若已知直线和圆的方程或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较为简单． (2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单． 已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，判断直线l与圆C的位置关系． 解：方法一(代数法)　由方程组 消去y后整理得5x2－50x＋61＝0． ∵Δ＝(－50)2－4×5×61＝1 280＞0， ∴该方程组有两组不同的实数解，即直线l与圆C相交． 方法二(几何法)　圆心(7，1)到直线l的距离为 d＝＝2． ∵d＜r＝6，∴直线l与圆C相交． 知识点二 直线与圆相切问题 求与直线y＝x＋2平行且与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相切的直线的方程． 解：设所求直线的方程为y＝x＋m，即x－y＋m＝0． (x－2)2＋(y－3)2＝8的圆心坐标为(2, 3)，半径为2， 由＝2，解得m＝5或m＝－3， 所以所求直线的方程为y＝x＋5或y＝x－3． [探究] (变条件)若将本例中条件“与直线y＝x＋2平行”换为“与直线y＝x＋2垂直”，其他条件不变，结论又如何呢？ 解：设所求直线方程为y＝－x＋m，即x＋y－m＝0， 由＝2，解得m＝1或m＝9， 所求直线方程为x＋y－1＝0或x＋y－9＝0． 圆的切线方程的两种求解方法 (1)几何法：设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知量的值，此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意则直接写出切线方程． (2)代数法：设出直线的方程，将其与圆的方程联立消元，利用Δ＝0求未知量的值．若消元后的方程是一元一次方程，则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在，可直接写出切线的方程． 知识点三 直线与圆相交问题 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长． 解：方法一　由得交点A(1，3)，B(2，0)， ∴弦AB的长为|AB|＝＝． 方法二　由消去y，得x2－3x＋2＝0． 设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则由根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1·x2＝2． ∴|AB|＝ ＝ ＝＝ ＝＝， 即弦AB的长为． 方法三　圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标(0，1)，半径r＝， 点(0, 1)到直线l的距离为d＝＝， ∴半弦长为＝＝＝， ∴弦长|AB|＝． 求弦长常用的三种方法 (1)几何法：利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系(l)2＋d2＝r2解题． (2)交点坐标法：利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． (3)公式法：利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长 |AB|＝＝|x1