2.3.2 圆的一般方程（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2．3．2　圆的一般方程 课程标准 核心素养目标 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程． 1．能进行圆的一般方程和标准方程的互化．(数学抽象) 2．会求圆的一般方程．(逻辑推理、数学运算) 3．会求与圆有关的轨迹方程，并能简单应用．(逻辑推理、数学运算) 1．圆的一般方程 圆的一般方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，限制条件是D2＋E2－4F>0． 1．圆的一般方程特点 (1)x2，y2的系数相等且不为0； (2)没有xy项． 2．圆的标准方程和一般方程的相互转化 [微练1]圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　D　) A．(2，3) B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 解析：圆的方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆心为(2，－3)． [微练2]圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为． 解析：∵(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m， ∴r＝＝．∴m＝． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点(－，－) D2＋E2－4F＞0 表示以(－，－)为圆心，以为半径的圆 若一个二元方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则系数A，B，C，D，E，F应满足如下条件： ①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋ E2－4AF>0． [微练3]方程x3＋xy2－2x2＋2xy＋2x＝0表示的图形是直线x＝0或点(1，－1)． 解析：由题意，得x[(x－1)2＋(y＋1)2]＝0，所以x＝0或所以方程表示的图形为直线x＝0或点(1，－1)． 知识点一 圆的一般方程的概念 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 解：(1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜， 故m的取值范围为(－∞，)． (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝． 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法 (1)配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆． (2)定义法：判断D2＋E2－4F是否大于零，确定它是否表示圆． 提醒：在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数． 已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________． 答案：(－2，－4)　5 解析：由圆的一般方程的形式知，a＋2＝a2，得a＝2或－1． 当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0， ∵D2＋E2－4F＝12＋22－4×＜0，∴a＝2不符合题意． 当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5． 知识点二 求圆的一般方程 已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程． 解：方法一：设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得得 ∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0． 方法二：设所求的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题意得得 故所求的圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5． [探究] 已知圆过A(2，2)，C(3，－1)，且圆关于直线y＝x对称，求圆的一般方程． 解：设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得得 ∴所求的圆的方程为x2＋y2＋x＋y－12＝0． 待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0． (2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组． (3)解此方程组，求出D，E，F的值． (4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程． 求过点A(－1，0)，B(3，0)和C(0，1)的圆的一般方程． 解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(*)． 把A，B，C三点的坐标代入方程(*)，得 解这个方程组，得 故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0． 学科网（北京）股份有限公司 $$