2.3.1 圆的标准方程（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2．3　圆及其方程 2．3．1　圆的标准方程 课程标准 核心素养目标 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程． 1．会根据已知条件求圆的标准方程．(逻辑推理、数学运算) 2．会判断点与圆的位置关系．(逻辑推理、数学运算) 1．圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径． 2．圆的标准方程 一般地，如果平面直角坐标系中⊙C的圆心为C(a，b)，半径为r(r>0)，设M(x，y)为平面直角坐标系中任意一点，则点M在⊙C上的充要条件是|CM|＝r，即＝r，将其两边平方，得(x－a)2＋(y－b)2＝r2，通常称为圆的标准方程． 圆的标准方程中有三个量a，b，r，要确定它们需三个独立的条件． [微练1]圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心、半径是(　D　) A．(1，－2)，4 B．(1，－2)，2 C．(－1，2)，4 D．(－1，2)，2 解析：由圆的标准方程知圆心为(－1，2)，半径为2． [微练2]以圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心为圆心，半径为2的圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4． 解析：圆心为(1，2)，半径r＝2，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4． 3．点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与⊙C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 [微练3]点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　B　) A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 [微练4]若点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝±2． 解析：因为点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，所以(－1)2＋()2＝m2，故m＝±2． 知识点一 求圆的标准方程 求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程． 解：方法一(待定系数法)　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有 解得 ∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25． 方法二(直接法)　由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线方程为x＋y－1＝0． ∵弦的垂直平分线过圆心，∴由 解得即圆心坐标为(4，－3)， 半径r＝＝5． ∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25． 求圆的标准方程的两种思路 (1)直接法：根据题意先求圆心和半径，然后再写出圆的标准方程． 提醒：确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“过切点与切线垂直的直线必过圆心”等． (2)待定系数法： ①设：根据题意，设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②列：根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组； ③解：解方程组，求出a，b，r的值，并把它们代入所设的圆的标准方程中，就得到所求的圆的标准方程． 已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25． ∵圆截y轴线段长为8，∴圆过点A(0，4)． 代入方程得a2＋16＝25, ∴a＝±3． ∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25． 知识点二 点与圆的位置关系 已知A(－1，4)，B(5，－4)．求以AB为直径的圆的标准方程，并判断C(5，1)，D(6，－3)，E(－5，1)与圆的位置关系． 解：设圆心为O(x0, y0)，半径为r， 由题意得得 ∴圆心O(2，0)． 又r＝|OB|＝＝5， ∴圆的方程为(x－2)2＋y2＝25． ∵|OC|2＝(5－2)2＋12＝10<r2，∴C在圆内． ∵|OD|2＝(6－2)2＋(－3－0)2＝25＝r2， ∴D在圆上． ∵|OE|2＝(－5－2)2＋(1－0)2＝50>r2， ∴E在圆外． [探究] (变条件、变设问)在本例的条件下，若点P(a，a－1)在此圆的外部，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，－2)∪(5，＋∞) 解析：由题意得(a－2)2＋(a－1)2>25，即a<－2或a>5． 点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．判断点与圆的位置关系有两种方法：一是用圆心到该点的距离与半径比较，二是代入圆的标准方程，判断与r2的大小关系． 点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是(　　) A．a＜－1或a＞1