2.2.4 点到直线的距离（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2．2．4　点到直线的距离 课程标准 核心素养目标 1．探索并掌握平面上点到直线的距离公式． 2．会求两条平行直线间的距离． 1．会根据点到直线的距离公式求点到直线的距离．(数学运算) 2．会求两条平行线间的距离及相关问题．(逻辑推理，数学运算) 1．点到直线的距离 (1)定义：平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度． (2)图示： (3)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． (1)点到直线距离公式中的直线方程必须是一般式，如果不是，必须先将方程化为一般式方程，再利用公式求距离． (2)点到直线的距离公式对于A＝0，B≠0或A≠0，B＝0或P点在直线l上的情况也是适用的． [微练1]原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　D　) A．1 B． C．2 D． 解析：由点到直线的距离公式得d＝＝． [微练2]点P(x，y)在直线x＋3y－2＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值为． 解析：|OP|的最小值是原点到直线的距离d＝＝＝． 2．两条平行直线之间的距离 (1)定义：两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)图示： (3)求法：可以转化为点到直线的距离，也可以直接套用公式． (4)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． 应用平行线间的距离公式的两个前提条件是： (1)两直线方程必须是一般式；(2)两直线方程x，y的系数对应相等． [微练3]两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为(　C　) A．3 B．2 C．1 D． [微练4]已知直线l1：x＋y－1＝0，l2：x＋y＋a＝0，且两直线间的距离为，则a＝－3或1． 知识点一 点到直线的距离 求点P0(－1，2)到下列直线的距离． (1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0． 解：(1)由点到直线的距离公式知 d＝＝＝2． (2)方法一　直线方程化为一般式为x－2＝0． 由点到直线的距离公式知d＝＝3． 方法二　∵直线x＝2与y轴平行， ∴由图①知d＝|－1－2|＝3． 图① (3)方法一　由点到直线的距离公式得d＝＝1． 方法二　∵直线y－1＝0与x轴平行， ∴由图②知d＝|2－1|＝1． 图② (1)在使用点到直线的距离公式时，首先把直线方程化为一般式，再利用公式求解． (2)在已知点到直线的距离求参数时，只需根据公式列方程求解参数即可． 已知点A(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，求a的值为多少？ 解：由点到直线的距离公式可知d＝＝1， 解得a＝－1±．又∵a>0，∴a＝－1＋． 知识点二 两条平行线间的距离 求两条平行直线l1：6x＋8y＝20和l2：3x＋4y－15＝0的距离． 解：方法一　在直线l1上任取一点A(2，1)，则点A到直线l2的距离即为所求的平行线间的距离，则d＝＝1． 方法二　直接应用两条平行直线间的距离公式． l1：3x＋4y－10＝0，l2：3x＋4y－15＝0， 故d＝＝1． 求两平行直线间距离的两种思路 (1)利用“化归”法：将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离； (2)直接利用两平行线间的距离公式d＝，但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等，且C1≠C2． 求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程． 解：∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0， 根据两平行直线间的距离公式得＝3， 解得b＝45或b＝－33． 所以所求直线方程为5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0． 知识点三 距离公式的综合应用 两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．求： (1)d的变化范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程． 解：(1)方法一　①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x＝6和x＝－3，则它们之间的距离为9． ②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为 l1：y－2＝k(x－6)，l2：y＋1＝k(x＋3)， 即l1：kx－y－6k＋2＝0，l2：kx－y＋3k－1＝0， ∴d＝＝， 即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0． ∵k∈R，且d≠9，d＞0，∴Δ＝(－54)2－4(81－d2)(9－d2)≥0， 即0＜d≤3且d≠9． 综合①②可知，所求d的变化范围为(0，3]． 方法二　如图所示，显然有0＜d≤|AB|． 而|AB|＝＝3． 故所求的d的变化范围为(0，3]． (2)由图可知， 当d取最大值时，两直线垂直于AB． 而k