2.2.3 第2课时 两条直线的垂直（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

第2课时　两条直线的垂直 课程标准 核心素养目标 能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 1．会利用法向量推导出两条直线垂直的条件：A1A2＋B1B2＝0和k1k2＝－1． 2．能熟练地运用这两个条件解决有关垂直问题．(逻辑推理、数学运算) 两条直线的垂直 (1)设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1． (2)设直线l1，l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1不同时为零，A2，B2不同时为零)，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． (1)过点(x0，y0)且与Ax＋By＋C＝0垂直的直线可表示为B(x－ x0)－A(y－ y0)＝0； (2)与直线y＝kx＋b(k≠0)垂直的所有直线可以表示为y＝－ x＋m； (3)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的所有直线可以表示为Bx－Ay＋m＝0． [微练1]已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝(　D　) A．2 B．1 C．0 D．－1 解析：两条直线的斜率分别为a和a＋2，且相互垂直，即a(a＋2)＝－1，解得a＝－1． [微练2]若直线x＋ay＋2＝0和2x＋3y＋1＝0互相垂直，则a＝－． 解析：若a＝0时，直线x＋ay＋2＝0即为直线x＋2＝0，与x轴垂直，而直线2x＋3y＋1＝0的斜率为－，此时两直线不垂直；若a≠0，则直线x＋ay＋2＝0的斜率是－．由两直线垂直的条件得(－)·(－)＝－1，解得a＝－． 知识点一 利用两条直线的垂直关系确定参数 直线l1：ax＋(1－a)y＝3与l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，求a的值． 解：方法一：当a＝1时，l1为x＝3，l2为y＝，故l1⊥l2； 当a＝－时，l1的方程为－x＋y＝3，l2的方程为－x＝2，显然l1，l2不垂直； 当a≠1且a≠－时，由k1·k2＝－1，得×＝－1，解得a＝－3． 综上所述，a＝1或a＝－3． (方法二)利用A1A2＋B1B2＝0，即a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3． 利用两直线的垂直关系求字母参数取值时，建议直接根据两直线垂直的系数整式条件列方程或不等关系，这样不易丢解或增解；若用比例式求解，一定要对特殊情况单独讨论．本例中方法一体现了分类讨论的条理性，方法二体现了适用两条直线方程的所有情况，具有统一性． 若直线l1：(2a＋5)x＋(a－2)y＋4＝0与直线l2：(2－a)x＋(a＋3)y－1＝0垂直，则a的取值是(　　) A．2 B．－2 C．2或－2 D．2或0或－2 C　解析：由题意，得(2a＋5)(2－a)＋(a－2)(a＋3)＝0，解得a＝±2． 知识点二 求与已知直线垂直的直线方程 已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0．求过点A和直线l垂直的直线方程． 解：方法一：设过点A与l垂直的直线为l2，直线l的斜率为kl，直线l2的斜率为kl2． 因为klkl2＝－1，所以kl2＝， 故直线l2的方程为y－2＝(x－2)，即4x－3y－2＝0． 方法二：设过点A且垂直于直线l的直线l2的方程为4x－3y＋m＝0． 因为l2经过点A(2，2)，所以4×2－3×2＋m＝0，解得m＝－2． 故l2的方程为4x－3y－2＝0． 与已知直线垂直的直线方程的两种设法 (1)求与直线y＝kx＋b(k≠0)垂直的直线方程时，根据两直线垂直的条件可设为y＝－x＋m(k≠0)，然后通过待定系数法，求参数m的值． (2)求与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)垂直的直线时，可巧设方程为Bx－Ay＋m＝0(A，B不同时为零)，然后用待定系数法，求出m． 以A(1，3)，B(－5，1)为端点的线段的垂直平分线方程是(　　) A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0 C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0 B　解析：因为kAB＝＝，AB的中点坐标为(－2，2)，所以所求直线方程为y－2＝－3(x＋2)，化简为3x＋y＋4＝0． 知识点三 两条直线平行与垂直的综合问题 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t>0．试判断四边形OPQR的形状． 解：由斜率公式得kOP＝＝t， kRQ＝＝＝t，kOR＝＝－， kPQ＝＝＝－， 所以kOP＝kRQ，kOR＝kPQ，从而OP∥RQ，OR∥PQ． 所以四边形OPQR为平行四边形． 又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，又|OP|＝，|OR|＝2，∵|OP|≠|OR|，故四边形OPQR为矩形． [探究