2.2.3 第1课时 两条直线的相交、平行与重合（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2．2．3　两条直线的位置关系 第1课时　两条直线的相交、平行与重合 课程标准 核心素养目标 能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 1．会求两条相交直线的交点坐标．(数学运算) 2．会根据直线的斜率和截距判断两条直线相交、平行、重合．(逻辑推理) 3．理解通过方程组给出的两条直线相交、平行、重合的条件．(逻辑推理) 两条直线的相交、平行与重合 (1)两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2的位置关系： l1与l2相交⇔k1≠k2； l1与l2平行⇔k1＝k2且b1≠b2； l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2． (2)两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系： ①用方程组解的情况判断 方程组的解 位置关系 交点个数 无解 平行 无交点 有唯一解 相交 有一个交点 有无数个解 重合 无数个交点 ②用直线方程的系数进行判断 [微练1]判断正误 (1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．(　×　) (2)若l1∥l2，则k1＝k2．(　×　) (3)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．(　√　) [微练2]下列直线与直线x－y－1＝0平行的是(　B　) A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0 C．ax－ay－a＝0(a≠0) D．x－y＋1＝0或ax－ay－a＝0(a≠0) [微练3]若直线2x＋y－1＝0与y＝ax＋3相交，则a的取值范围为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)． 知识点一 判断两条直线平行或相交 判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标． (1) l1：4x＋3y－2＝0与l2：x＋2y＋2＝0； (2) l1：x＋2y－＝0与l2：2x＋4y－1＝0； (3) l1：x－3y＝0与l2：y＝x＋1． 解：(方法一)(1)解方程组 ①×2－②×3得5x－10＝0，所以x＝2． 将x＝2代入①得y＝－2，所以两直线相交，交点坐标为(2，－2)． (2)解方程组 ①×2－②得0＝0，即此方程组有无数多个解，所以两直线重合． (3)解方程组 由①得x＝3y，代入②得y＝y＋1，即0＝1不成立，所以方程组无解，所以两直线平行． (方法二)(1)因为A1＝4，B1＝3，C1＝－2，A2＝1，B2＝2，C2＝2， 所以A1B2－A2B1＝4×2－1×3＝5≠0，所以两直线相交． 解方程组得 所以两直线的交点坐标为(2，－2)． (2)因为A1＝1，B1＝2，C1＝－，A2＝2，B2＝4，C2＝－1，所以A1B2－A2B1＝1×4－2×2＝0，A1C2－A2C1＝1×(－1)－2×(－)＝－1＋1＝0， 所以两直线重合． (3)因为A1＝1，B1＝－3，C1＝0，A2＝，B2＝－1，C2＝1，所以A1B2－A2B1＝1×(－1)－×(－3)＝－1＋1＝0，A1C2－A2C1＝1×1－×0＝1－0＝1≠0，所以两直线平行． (方法三)(1) l1：y＝－x＋，l2：y＝－x－1． 因为k1≠k2，所以两直线相交，可得交点坐标为(2，－2)． (2) l1：y＝－x＋，l2：y＝－x＋． 因为k1＝k2且b1＝b2，所以两直线重合． (3) l1：y＝x，l2：y＝x＋1． 因为k1＝k2且b1≠b2，所以两直线平行． 判断两条直线平行的方法 (1)如果斜率都存在，那么需要判断其斜率是否相等，若两条直线斜率相等，则两条直线可能平行也可能重合，还需要进一步判断截距是否相等．如果两条直线的斜率不存在，两条直线的方程为x＝a1，x＝a2，只需判断a1与a2是否相等即可． (2)利用A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1或A2C1≠A1C2判断． 已知点A(1，2)，B(0，－4)，C(－2，6)，D(0，18)，试判断直线AB和直线CD的位置关系． 解：kAB＝＝6，kCD＝＝6， 又因为B(0，－4)，D(0，18)，所以直线AB的方程为y＝6x－4，直线CD的方程为y＝6x＋18． 因为两条直线的斜率相等，在y轴上的截距不相等，所以直线AB和直线CD平行． 知识点二 利用两条直线的平行关系确定参数 直线l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，l2：2x＋4(m－3)y－1＝0，如果l1∥l2，求m的值． 解：(方法一)当l1，l2的斜率都存在，由l1∥l2，得－＝－，解得m＝－4； 当l1，l2的斜率不存在时，m＝3，l1与l2的方程分别为x＝－，x＝，显然l1∥l2． 故m＝－4或m＝3． (方法二)若l1∥l2， 则有 解得m＝－4或m＝3． 利用两直线平行关系求字母参数取值时，提倡直接根据两直线平行的系数整式条件列方程或不等关系，这样不易丢解或增解；若用比例式求解，一定要对特殊情况单独