2.2.2 第3课时 直线的一般式方程（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

第3课时　直线的一般式方程 课程标准 核心素养目标 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式． 1．掌握直线方程的一般式，并会熟练应用．(逻辑推理) 2．会选择适当的方程形式求直线方程．(逻辑推理、数学运算) 3．掌握一般式与其他形式的互化．(逻辑推理) 直线的一般式方程 (1)形式：所有的直线方程都可以写成Ax＋By＋C＝0的形式，其中A，B，C都是实常数，而且A与B不同时为零(即A2＋B2≠0)．Ax＋By＋C＝0一般称为直线的一般式方程． (2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义： ①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)； ②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率． 提醒：在求直线方程时，最后一般都将直线方程化为一般式方程． [微练1]斜率为－3，且在x轴上截距为2的直线的一般式方程是(　C　) A．3x＋y＋6＝0 B．3x－y＋2＝0 C．3x＋y－6＝0 D．3x－y－2＝0 [微练2]在y轴上的截距为2，且过点(－1，4)的直线的一般式方程为2x＋y－2＝0． 解析：因为在y轴上的截距为2，所以设直线方程为＋＝1，把点(－1, 4)代入，得a＝1，所以所求直线的方程为＋＝1，整理得2x＋y－2＝0． 知识点一 直线的一般式方程 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是，且经过点A(5，3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (3)经过点A(－1，5)，B(2，－1)两点； (4)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1； (5)经过点B(4，2)，且平行于x轴． 解：(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)，即x－y－5＋3＝0． (2)由斜截式，得直线方程为y＝4x－2，即4x－y－2＝0． (3)由两点式，得直线方程为＝， 即2x＋y－3＝0． (4)由截距式，得直线方程为＋＝1，即x＋3y＋3＝0． (5)y－2＝0． 利用直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式求解直线的方程时，一定要注意每种方程形式的适用范围，要注意对斜率是否存在，截距是否为0进行分类讨论，最后将方程形式转化为一般式． 若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足(　　) A．m≠0 B．m＝0 C．m≠1 D．m＝1 C　解析：因为方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，所以2m2＋m－3＝0，m2－m＝0不能同时成立，解得m≠1． 已知直线l经过点A(2，1)，B(3，3)，求直线l的点斜式、斜截式和一般式方程，并根据方程指出直线在x轴、y轴上的截距． 解：因为kl＝＝2，所以点斜式方程为y－1＝2(x－2)，斜截式方程为y＝2x－3，一般式方程为2x－y－3＝0，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为－3． 知识点二 与含参数的一般式方程有关的问题 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0． (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围． (1)证明：方法一　将直线l的方程整理为y－＝a(x－)， ∴直线l的斜率为a，且过定点A(， )， 而点A(，)在第一象限内， 故不论a为何值，l恒过第一象限． 方法二　直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0． ∵上式对任意的a总成立， ∴必有即即l过定点A(，)． 以下同方法一． (2)解：直线OA的斜率为k＝＝3．如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3， ∴a≥3． [探究1] (变条件)本例中若直线不经过第四象限，则a的取值范围是什么？ 解：由本例(2)解析可知直线OA的斜率为3，要使直线不经过第四象限，则有a ≤3． [探究2] (变条件)本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？ 解：当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过第二象限，满足要求． 当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线不经过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即解得所以a>1． 直线方程应用问题的解题关键与方法 (1)解题关键：灵活地把一般式Ax＋By＋C＝0进行变形． (2)思想方法：求参数取值范围时巧妙地利用数形结合，会使问题更简单明了． 学科网（北京）股份有限公司 $$