2.2.2 第2课时 直线的两点式方程和截距式方程（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

第2课时　直线的两点式方程和截距式方程 课程标准 核心素养目标 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式与截距式方程． 1．掌握直线方程的两点式和截距式，并会熟练应用．(逻辑推理、数学运算) 2．灵活选择方程形式并解决简单的综合问题．(逻辑推理、数学运算) 1．直线的两点式方程 名称 两点式 已知条件 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 示意图 方程形式 ＝ 使用范围 斜率存在且不为0 [微练1]过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是(　D　) A．y＝－x－1 B．y＝－x＋1 C．y＝x＋1 D．y＝x－1 解析： 由直线的两点式方程，得＝，化简得y＝x－1． 2．直线的截距式方程 名称 截距式 已知条件 在x，y轴上的截距分别为a，b，且ab≠0 示意图 方程形式 ＋＝1 使用范围 a≠0，b≠0 [微练2]判断正误 (1)不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示．(　×　) (2)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．(　√　) [微练3]如图，直线l的截距式方程是＋＝1，则(　B　) A．a>0，b>0 B． a>0，b<0 C．a<0，b>0 D． a<0，b<0 解析：由题图可知M(a，0)，N(0，b)，由题图知M在x轴正半轴上，N在y轴负半轴上，则a>0，b<0． [微练4]直线－＝1在y轴上的截距是(　B　) A．|b| B．－b2 C．b2 D．±b 解析： 令x＝0得，y＝－b2． 知识点一 直线的两点式方程 三角形的三个顶点是A(－1，0)，B(3，－1)，C(1，3)，求三角形三边所在直线的方程． 解：由两点式，得边AB所在直线方程为＝，即y＝－x－． 边BC所在直线的方程为＝， 即y＝－2x＋5． 边AC所在直线方程为＝，即y＝x＋． 综上所述，直线AB的方程为x＋4y＋1＝0，直线BC的方程为2x＋y－5＝0，直线AC的方程为3x－2y＋3＝0． [探究] (变设问)本例条件不变，求AB边上中线所在的直线的方程． 解：由中点坐标公式，得AB边中点D的坐标为(，)，即D(1，－)， 由于C，D两点横坐标相同，所以直线CD的方程为x＝1． 由两点式求直线方程的步骤 (1)设出直线所经过点的坐标． (2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标． (3)由直线的两点式方程写出直线的方程． 知识点二 直线的截距式方程 求过点A(3，4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程． 解：当直线l在坐标轴上截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1． 又l过点A(3，4)，所以＋＝1，解得a＝－1． 所以直线l的方程为＋＝1，即y＝x＋1； 当直线l在坐标轴上截距互为相反数且为0时，直线的方程为y＝x． 综上，直线l的方程为y＝x＋1或y＝x． [探究] 若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 解：(1)当直线l在坐标轴上截距相等且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1．又l过点A(3，4)，所以＋＝1， 解得a＝7．所以直线l的方程为＋＝1，即y＝－x＋7； 当直线l在坐标轴上截距相等且为0时，直线的方程为y＝x． 综上，直线l的方程为y＝－x＋7或y＝x． 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式方程的逆向应用． 求过点A(5，2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程． 解：由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时， 直线l的方程为y＝x； 当直线l在坐标轴上的截距不为零时， 设l的方程为＋＝1， 将点(5，2)代入方程得＋＝1，解得a＝， 所以直线l的方程为y＝－x＋． 综上可知，所求直线l的方程为y＝x或y＝－x＋． 学科网（北京）股份有限公司 $$