2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2．2．2　直线的方程 第1课时　直线的点斜式方程与斜截式方程 课程标准 核心素养目标 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式与斜截式． 1．掌握直线方程的点斜式和斜截式，并会熟练应用．(逻辑推理、数学运算)． 2．了解截距的概念，了解直线的斜截式方程与一次函数的关系．(数学抽象) 3．会用直线的点斜式方程和斜截式方程解决直线的平行与垂直问题．(数学运算) 1．直线与方程 一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)＝0为直线l的方程，而直线l称为方程F(x，y)＝0的直线．此时，为了简单起见，“直线l”也可说成“直线F(x，y)＝0”，并且记作l：F(x，y)＝0． [微练1]判断正误 (1)如图所示，线段AB的方程为y＝x＋1．(　×　) (2)在平面直角坐标系中，y轴所在直线方程为y＝0．(　×　) 2．直线的点斜式方程 名称 点斜式 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 示意图 方程形式 y－y0＝k(x－x0) 使用范围 斜率存在 [微练2]直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是(　C　) A．2 B．－1 C．3 D．－3 解析：由直线的点斜式方程可知直线l的斜率是3． [微练3]过点P(－2，0)，斜率是3的直线的方程是(　D　) A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2 C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2) 解析：∵过P(－2，0)，k＝3，∴由点斜式得y＝3(x＋2)． 3．直线的截距式方程 (1)有关概念 一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点为(a，0)，则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b．一条直线在y轴上的截距简称为截距． (2)直线的斜截式方程 名称 斜截式 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 示意图 方程式 y＝kx＋b 使用范围 斜率存在 (1)截距是数，而不是距离，它的取值可正可负也可以为零； (2)直线的斜截式方程与一次函数解析式的区别与联系 斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程． [微练4]直线y＝－2x＋3的斜率和在y轴上的截距分别是(　A　) A．－2，3 B．3，－2 C．－2，－2 D．3，3 [微练5]倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝x－1 C．y＝－x＋1 D．y＝－x－1 D　解析：由题意知，直线的斜率k＝－1，又在y轴上截距为－1，故直线方程为y＝－x－1，故选D． 知识点一 直线的点斜式方程 已知在第一象限的△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求： (1)AB边所在直线的方程； (2)AC边与BC边所在直线的点斜式方程． 解：(1)如图所示， 因为A(1，1)，B(5，1)，所以AB∥x轴， 所以AB边所在直线方程为y＝1． (2)因为∠A＝60°，所以kAC＝tan 60°＝， 所以直线AC的点斜式方程为y－1＝(x－1)． 因为∠B＝45°，所以kBC＝tan 135°＝－1， 所以直线BC的点斜式方程为y－1＝－(x－5)． 求直线点斜式方程的步骤 (1)找定点：确定直线经过的定点(x0，y0)． (2)定斜率：求出直线的斜率k． (3)写方程：由点斜式写出直线的方程． 求经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x倾斜角的2倍的直线的点斜式方程． 解：因为直线y＝x的斜率为，所以倾斜角为30°． 所以所求直线的倾斜角为60°，其斜率为． 所以所求直线方程为y＋3＝(x－2)． 知识点二 直线的斜截式方程 直线l的斜率为3且它在y轴上的截距为－3． (1)求直线l的方程； (2)求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积． 解：(1)由直线的斜截式方程，得直线l的方程为y＝3x－3． (2)由(1)得直线l的方程为y＝3x－3，在y＝3x－3中，令y＝0，得3x－3＝0，解得x＝1，即直线l在x轴上的截距为1，则直线l与坐标轴所围成的三角形面积S＝×|1|×|－3|＝． 1．截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零． 2．直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图像就一目了然．因此，在解决直线的