2.2.1 直线的倾斜角与斜率（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2．2　直线及其方程 2．2．1　直线的倾斜角与斜率 课程标准 核心素养目标 1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 1．理解并会求直线的倾斜角．(数学抽象) 2．掌握过两点的直线斜率的计算公式并能解决相关的实际问题．(数学运算) 3．初步理解直线的方向向量和法向量的概念，并能找出其与直线斜率和倾斜角的内在联系．(直观想象，逻辑推理) 1．直线的倾斜角 (1)一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角． (2)如果这条直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为0°． (1)直线倾斜角的取值范围为[0°，180°)； (2)平面内每一条直线都有唯一的倾斜角． 2．直线的斜率 (1)斜率定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan_θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在． (2)斜率公式： 若A1(x1，y1)，B2(x2，y2)是直线l上两个不同的点， 则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝． 当x1＝x2时，直线l的斜率不存在． 斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 3．直线的方向向量和直线的法向量 定义 方向向量 如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，用符号表示为a∥l 法向量 如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，用符号表示为v⊥l 知识点一 求直线的倾斜角 (1)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　) A．α＋40° B．α－140° C．140°－α D．当0°≤α<140°时，为α＋40°；当140°≤α<180°时，为α－140° (2)设直线l1过原点，其倾斜角α＝15°，直线l1与l2的交点为A，且l1与l2向上的方向之间所成的角为75°，则直线l2的倾斜角为________． 答案：(1)D　(2)90° 解析：(1)因为0°≤α<180°，显然A，B，C选项未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知， 当0°≤α<140°时，如图①所示，l1的倾斜角为α＋40°； 当140°≤α<180°时，如图②所示，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°．故选D． (2)设直线l2的倾斜角为α，由图可知，α＝15°＋75°＝90°，∴直线l2的倾斜角为90°． 求直线倾斜角的方法及关注点 (1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角． (2)关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论． 已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．0°≤α<90° B．90°≤α<180° C．90°<α<180° D．0°<α<180° C　解析：直线l的倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°． 知识点二 直线的倾斜角与斜率的关系 已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1)． (1)当m为何值时，直线l的斜率是1? (2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？ 解：(1)因为直线l的斜率是1，所以＝1，所以m＝． (2)因为直线l的倾斜角为90°，所以直线l的斜率不存在，所以m＋1＝2m，所以m＝1． [探究1] 本例条件不变，试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围． 解：因为直线l的倾斜角为锐角，所以直线的斜率大于0，即>0，解得1<m<2． 故m的取值范围为(1，2)． [探究2] 若将本例中的“N(2m，1)”改为“N(3m，2m)”，其他条件不变，结果如何？ 解：(1)因为直线l的斜率是1，所以＝1，所以m＝2． (2)因为直线l的倾斜角为90°，所以直线l的斜率不存在，所以m＋1＝3m，所以m＝． 通过本例的求解，一定要熟练地掌握直线的斜率与倾斜角的对应关系，若直线斜率存在，则除了斜率公式之外还可以应用k＝tan α(其中α为直线的倾斜角，k为直线的斜率)，斜率为零和斜率不存在时对应的情况要引起重视． 求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率k，并指出倾斜角α的