1.2.5 空间中的距离（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1．2．5　空间中的距离 课程标准 核心素养目标 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题 通过点到直线的距离公式、点到平面的距离公式的学习以及利用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，强化数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． 1．空间中两点之间的距离 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间中任意两点，则d＝||＝＝． 2．点到直线的距离 n0是直线l的单位方向向量，A∈l，则点P到直线l的距离d＝． 3．点到平面的距离 一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离d＝． [微练1]已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到α的距离为(　D　) A．10 B．3 C． D． 解析：＝(－1，－2，4)，d＝＝． 4．相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 (1)如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A，B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝． (2)如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量)，A和B分别是平面α与平面β内的点，则平面α与平面β之间的距离为d＝． 解决立体几何问题的三种方法 (1)综合方法：以逻辑推理作为工具解决问题． (2)向量方法：利用向量的概念及其运算解决问题． (3)坐标方法：建立直角坐标系，利用坐标表示几何对象或向量，通过运算解决几何问题． [微练2](多选)已知平面α∥平面β，直线l⊂α，α与β之间的距离为d，则下列命题正确的是(　CD　) A．β内有且仅有一条直线与l的距离为d B．β 内所有的直线与l的距离都等于d C．β内有无数条直线与l的距离为d D．β内所有直线与α的距离都等于d 解析：在直线l上任取一点O，过O作OA⊥β于A，在平面β内，与l不平行的所有直线与l距离都是d，否则不一定是d，所以AB错误，CD正确． 知识点一 求两点间的距离 已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折叠，使平面ABC与平面ADC垂直，求点B，D之间的距离． 解：方法一：过点D和点B分别作DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F， 则由已知条件可知AC＝5， ∴DE＝＝，BF＝＝． ∵AE＝＝＝CF，∴EF＝5－2×＝． ∵＝＋＋， ∴||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·． ∵平面ADC⊥平面ABC，DE⊥AC， ∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥BF，即⊥， 故B，D间距离是． 方法二：过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，过点E作FB的平行线EP，以E为坐标原点，EP，EC，ED所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图． DE＝FB＝，EF＝， ∴D(0，0，)，B(，，0)，∴＝(，，－)， ∴||＝＝． 故B，D间距离是． [探究] 若将本例中条件“使平面ABC与平面ADC垂直”变为“使平面ABC与平面ADC重叠”，则结论又如何？ 解：当改变条件后，就变为了平面几何问题，如图所示，BD＝EF，又由本例中结论可知BD＝AC－2AE＝． 用向量法求两点间距离的方法主要是坐标法和基向量法，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则dAB＝||＝，或利用|a|＝求解． 知识点二 点到直线的距离 如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是线段DC1的中点，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．求点M到直线AD1的距离． 解：如题图，则A(a，0，0)，C1(0，a，a)，D1(0，0，a)，M(0，，)，＝(－a，0，a)，＝(0，－，)， 直线AD1的一个单位方向向量s＝(－，0，)， ||2＝a2，·s＝a， 所以点M到直线AD1的距离 [探究] (变条件)将本例条件“M是线段DC1的中点”改为“M是线段DC1上的动点”，试求点M到直线AD1距离的最小值． 解：如题图，则A(a，0，0)，D1(0，0，a)， 设M(0，m，m)(0≤m≤a)，＝(－a，0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s＝(－，0，)，＝(0，－m，a－m)，故点M到直线AD1的距离d＝＝＝， 根式内的二次函数在m＝－＝时取最小值()2－a×＋a2＝a2，故d的最小值为a． 利用向量法求点N到直线l的距离的步骤 第一步：建系，依据图形先求出直线l的单位方向向量s． 第二步：在直线l上任取一点M(注：点M可选直线l便于计算)，计算点M与直线l外的点N的方向向量． 第三步：易知垂线段的长度可利用直角三角